Предмет находится на такой высоте относительно горизонтального уровня Земли, где величина ускорения свободного падения достигает значения 4,9 м/с2. Рассчитай высоту. Справочные данные: гравитационная постоянная G = 6,7 • 10 11 H • м2/кг2, масса Земли М = 6 • 1024 кг, радиус Земли R = 6400 км. (Ответ округли до целых.)
Для начала формулируем закон всемирного тяготения Ньютона. Сила гравитации между двумя объектами определяется выражением:
\[ F = \frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{r^2} \]
где \( F \) - сила притяжения, \( G \) - гравитационная постоянная, \( m_1 \) и \( m_2 \) - массы объектов, а \( r \) - расстояние между центрами масс объектов.
Ускорение свободного падения на поверхности Земли \( g \) связано с силой гравитации и массой объекта \( m \) следующим образом:
\[ F = m \cdot g \]
Подставляя \( F \) из закона всемирного тяготения, можно получить уравнение для ускорения свободного падения:
\[ m \cdot g = \frac{G \cdot m \cdot M}{r^2} \]
где \( M \) - масса Земли.
Теперь мы видим, что массы объекта сокращаются, и получаем выражение для \( g \):
\[ g = \frac{G \cdot M}{r^2} \]
Мы хотим найти высоту \( h \) над поверхностью Земли, где ускорение свободного падения равно 4,9 м/с². При этом \( r = R + h \), где \( R \) - радиус Земли. То есть:
\[ 4,9 = \frac{6,7 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{(6400 \cdot 10^3 + h)^2} \]
Решим это уравнение относительно \( h \). Сначала упростим численные коэффициенты:
\[ 4,9 = \frac{6,7 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{r^2} \]
\[ r^2 = \frac{6,7 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{4,9} \]
\[ r = \sqrt{\frac{6,7 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{4,9}} \]
Подставим числовые значения:
\[ r ≈ \sqrt{\frac{40,2 \cdot 10^{13}}{4,9}} \] \[ r ≈ \sqrt{8,204081632653061 \cdot 10^{13}} \] \[ r ≈ 9,067207564e+06 \text{ (метры)} \]
Теперь вычтем радиус Земли для получения высоты \( h \):
\[ h = r - R \] \[ h = 9,067207564e+06 - 6400 \cdot 10^3 \]
\[ h ≈ 9,067207564e+06 - 6,4e+06 \] \[ h ≈ 2,667207564e+06 \text{ (метры)} \]
Округлим до целых:
\[ h ≈ 2667208 \text{ (метры)} \]
Таким образом, высота, на которой ускорение свободного падения станет равно 4,9 м/с², составляет примерно 2667208 метров или округляя до целых, 2667208 метров.
