Предмет находится на такой высоте относительно горизонтального уровня Земли, где величина ускорения свободного падения достигает значения 4,9 м/с2. Рассчитай высоту. Справочные данные: гравитационная постоянная G = 6,7 • 10 11 H • м2/кг2, масса Земли М = 6 • 1024 кг, радиус Земли R = 6400 км. (Ответ округли до целых.)
Для начала, величина ускорения свободного падения на высоте h над поверхностью Земли определяется как:
\[ g' = \frac{GM}{(R+h)^2} \]
где:
- \( g' \) – ускорение свободного падения на высоте \( h \),
- \( G \) – гравитационная постоянная,
- \( M \) – масса Земли,
- \( R \) – радиус Земли,
- \( h \) – высота над поверхностью Земли.
Нам известны следующие значения:
- \( G = 6,67 \cdot 10^{-11} \) Н·м²/кг² (в формуле у вас указана неправильная степень в гравитационной постоянной),
- \( M = 6 \cdot 10^{24} \) кг,
- \( R = 6400 \) км = \( 6400 \cdot 10^3 \) м (так как мы хотим все единицы в системе СИ),
- \( g' = 4,9 \) м/с².
Подставим данные в формулу и найдем \( h \):
\[ 4,9 = \frac{(6,67 \cdot 10^{-11}) \cdot (6 \cdot 10^{24})}{(6400 \cdot 10^3 + h)^2} \]
\[ (6400 \cdot 10^3 + h)^2 = \frac{(6,67 \cdot 10^{-11}) \cdot (6 \cdot 10^{24})}{4,9} \]
\[ 6400 \cdot 10^3 + h = \sqrt{\frac{(6,67 \cdot 10^{-11}) \cdot (6 \cdot 10^{24})}{4,9}} \]
\[ h = \sqrt{\frac{(6,67 \cdot 10^{-11}) \cdot (6 \cdot 10^{24})}{4,9}} - 6400 \cdot 10^3 \]
Вычислим подкоренное выражение:
\[ \sqrt{\frac{(6,67 \cdot 10^{-11}) \cdot (6 \cdot 10^{24})}{4,9}} = \sqrt{\frac{40,02 \cdot 10^{13}}{4,9}} \approx \sqrt{8,1632653 \cdot 10^{13}} \]
\[ \approx 9,03 \cdot 10^6 \]
Теперь мы можем вычислить \( h \):
\[ h \approx 9,03 \cdot 10^6 - 6400 \cdot 10^3 \] \[ h \approx 9,03 \cdot 10^6 - 6,4 \cdot 10^6 \] \[ h \approx 2,63 \cdot 10^6 \text{ метров} \]
Это примерно 2630 километров. Округлим результат до целых, получаем \( h = 2630 \) км.
