Предмет находится на такой высоте относительно горизонтального уровня Земли, где величина ускорения свободного падения достигает значения 4,9 м/с2. Рассчитай высоту. Справочные данные: гравитационная постоянная G = 6,7 • 10 11 H • м2/кг2, масса Земли М = 6 • 1024 кг, радиус Земли R = 6400 км. (Ответ округли до целых.)
Из закона всемирного тяготения Ньютона, ускорение свободного падения (g) на высоте (h) от поверхности Земли определяется следующей формулой:
\[ g = \frac{G \cdot M}{(R + h)^2} \]
где \( g \) — ускорение свободного падения на высоте \( h \), м/с²; \( G \) — гравитационная постоянная, 6,674 × 10⁻¹¹ м³/кг·с²; \( M \) — масса Земли, 6 × 10²⁴ кг; \( R \) — радиус Земли, 6400 км (или 6,4 × 10⁶ м); \( h \) — искомая высота над поверхностью Земли, м.
Нам известно значение ускорения свободного падения на искомой высоте:
\[ 4,9 \text{ м/с²} = \frac{6,674 \times 10^{-11} \text{ м³/кг·с²} \cdot 6 \times 10^{24} \text{ кг}}{(6,4 \times 10^6 \text{ м} + h)^2} \]
Теперь преобразуем это уравнение, чтобы найти значение \( h \):
\( (6,4 \times 10^6 \text{ м} + h)^2 = \frac{6,674 \times 10^{-11} \text{ м³/кг·с²} \cdot 6 \times 10^{24} \text{ кг}}{4,9 \text{ м/с²}} \)
Рассчитаем числитель:
\( 6,674 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24} = 40,044 \times 10^{13} \)
И теперь подставим это значение в уравнение и проведем деление:
\( (6,4 \times 10^6 \text{ м} + h)^2 \approx \frac{40,044 \times 10^{13}}{4,9} \)
\( (6,4 \times 10^6 \text{ м} + h)^2 \approx 8,17184 \times 10^{14} \text{ м²} \)
Теперь найдем квадратный корень из каждой стороны:
\( 6,4 \times 10^6 \text{ м} + h \approx \sqrt{8,17184 \times 10^{14}} \)
\( h \approx \sqrt{8,17184 \times 10^{14}} - 6,4 \times 10^6 \)
Считаем приблизительное значение корня:
\( h \approx \sqrt{8,17184 \times 10^{14}} - 6,4 \times 10^6 \approx 28,5 \times 10^6 \text{ м} - 6,4 \times 10^6 \text{ м} \)
\( h \approx 28,5 \times 10^6 \text{ м} - 6,4 \times 10^6 \text{ м} \approx 22,1 \times 10^6 \text{ м} \)
\( h \approx 2,21 \times 10^7 \text{ м} \)
Округлим до целых:
\( h \approx 2,21 \times 10^7 \text{ м} \)
Имея в виду, что в расчётах я мог допустить ошибки в вычислениях и арифметическом округлении, финальный ответ может отличаться. Пожалуйста, перепроверьте расчёты перед использованием этого ответа.
