Предмет находится на такой высоте относительно горизонтального уровня Земли, где величина ускорения свободного падения достигает значения 4,9 м/с2. Рассчитай высоту. Справочные данные: гравитационная постоянная G = 6,7 • 10 11 H • м2/кг2, масса Земли М = 6 • 1024 кг, радиус Земли R = 6400 км. (Ответ округли до целых.)
Прежде всего, выразим формулу ускорения свободного падения (g) на поверхности Земли через гравитационную постоянную G, массу Земли M и радиус Земли R:
\[ g = \frac{GM}{R^2} \]
Поскольку нам известно значение ускорения свободного падения на заданной высоте (4,9 м/с²), мы можем выразить это ускорение как g', показывающее зависимость от нового радиуса (R + h), где h - высота над поверхностью Земли:
\[ g' = \frac{GM}{(R + h)^2} \]
Теперь подставим известные значения и решим уравнение относительно h:
\[ 4.9 = \frac{6.7 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{(6400 \cdot 10^3 + h)^2} \]
Чтобы упростить вычисления, сначала найдем g на поверхности Земли:
\[ g = \frac{6.7 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{(6400 \cdot 10^3)^2} \approx 9.8 \text{ м/с}^2 \]
Мы использовали радиус Земли, переведенный в метры (6400 км = 6400 * 10^3 м). Поскольку это значение очень близко к стандартному значению ускорения свободного падения (g = 9.8 м/с²), мы можем пользоваться им для проверки правильности этапов вычисления.
Возвращаясь к уравнению для g', у нас есть:
\[ 4.9 = \frac{6.7 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{(6400 \cdot 10^3 + h)^2} \]
\[ 4.9 \cdot (6400 \cdot 10^3 + h)^2 = 6.7 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24} \]
Используя значение g на поверхности Земли для упрощения:
\[ 4.9 \cdot (6400 \cdot 10^3 + h)^2 = 9.8 \cdot (6400 \cdot 10^3)^2 \]
Делим обе стороны на 4.9:
\[ (6400 \cdot 10^3 + h)^2 = 2 \cdot (6400 \cdot 10^3)^2 \]
Извлекаем квадратный корень обеих сторон:
\[ 6400 \cdot 10^3 + h = \sqrt{2} \cdot 6400 \cdot 10^3 \]
Остается выразить h:
\[ h = (\sqrt{2} - 1) \cdot 6400 \cdot 10^3 \]
\[ h \approx (1.41421 - 1) \cdot 6400 \cdot 10^3 \]
\[ h \approx 0.41421 \cdot 6400 \cdot 10^3 \]
\[ h \approx 2650.944 \cdot 10^3 \text{ м} \]
\[ h \approx 2650 \text{ км} \]
Таким образом, высота, на которой ускорение свободного падения достигает значения 4,9 м/с², составляет приблизительно 2650 км над уровнем моря. Ответ округлен до целых километров, как было указано в задании.
