Напряжение в колебательном контуре изменяется по закону: u=42cos(20It), электроёмкость конденсатора С-5пФ. Определите амплитудное значение напряжения, период и частоту колебаний, индуктивность катушки, напишите уравнение зависимости силы тока от времени i= i(t), постройте график зависимости силы тока от времени i= i(t)

Question 1

Задача Задача №46191

А

Аноним

15 ноября 2023 10:54 · публичный вопрос

А

Аноним 15 ноября 2023 10:54

Напряжение в колебательном контуре изменяется по закону: u=42cos(20It), электроёмкость конденсатора С-5пФ. Определите амплитудное значение напряжения, период и частоту колебаний, индуктивность катушки, напишите уравнение зависимости силы тока от времени i= i(t), постройте график зависимости силы тока от времени i= i(t)

Answer

Давайте последовательно решим поставленные задачи.

Амплитудное значение напряжения уже дано в уравнении колебаний напряжения в контуре \( u = U_m \cos(ωt) \), где \( U_m \) – это амплитудное значение напряжения. Из вашего уравнения \( u = 42 \cos(20t) \), видно, что \( U_m = 42 \) вольт.
Частота колебаний в вашем уравнении обозначена как \( 20I \), что, скорее всего, является опечаткой. Вероятно, имелось в виду \( 20t \), где знак \( t \) обозначает время. Если \( ω = 20 \) рад/с (радиан в секунду), это и есть круговая частота колебаний. Чтобы найти обычную (циклическую) частоту колебаний \( f \), используйте связь между круговой и обычной частотой: \( ω = 2πf \). Отсюда \( f = ω/(2π) = 20/(2π) \approx 3.18 \) Гц.
Период колебаний \( T \) – это время одного полного колебания, обратное частоте: \( T = 1/f \). Таким образом, \( T \approx 1/3.18 \approx 0.314 \) секунд.
Индуктивность катушки можно найти из формулы Томсона для колебательного контура, где период \( T = 2π\sqrt{LC} \). Отсюда индуктивность \( L = T^2 / (4π^2C) \). Подставляем электроёмкость С \( = 5 \) пФ (будьте внимательны: \( 5 \) пФ \( = 5×10^{-12} \) Ф) и ранее найденный период \( T \): \[ L = (0.314)^2 / (4π^2 × 5×10^{-12}) \approx 0.0985 / (39.478×5×10^{-12}) \] \[ L \approx 0.0985 / (197.39×10^{-12}) \] \[ L \approx 0.5×10^{-6} \] \[ L \approx 0.5 \) мкГн или \( 500 \) нГн. 5. **Уравнение зависимости силы тока от времени** \( i = i(t) \) можно получить, взяв производную от функции напряжения \( u(t) \) по времени, так как ток и напряжение связаны через закон Фарадея для индуктивных цепей \( u = L(di/dt) \): \[ i(t) = -(1/L)(du/dt) \] \[ i(t) = -(1/500×10^{-6}) × d/dt (42 \cos(20t)) \] \[ i(t) = (-1/(500×10^{-6})) × 42 × (-20) \sin(20t) \] \[ i(t) = (1/500×10^{-6}) × 840 \sin(20t) \] \[ i(t) = (840×10^6/500) \sin(20t) \] [ i(t) = 1.68 \sin(20t) ) А.

То есть амплитуда тока составляет 1.68 А, и фаза сдвинута на \( π/2 \) по отношению к фазе напряжения, что характерно для колебательного контура.

График зависимости силы тока от времени \( i = i(t) \) будет представлять собой синусоиду с амплитудой 1.68 А и периодом, равным периоду напряжения 0.314 секунды. Чтобы построить этот график, нанесите по горизонтальной оси время \( t \), а по вертикальной оси – силу тока \( i \), и нарисуйте синусоиду с соответствующими параметрами.

Question 2

Напряжение в колебательном контуре изменяется по закону: u=42cos(20It), электроёмкость конденсатора С-5пФ. Определите амплитудное значение напряжения, период и частоту колебаний, индуктивность катушки, напишите уравнение зависимости силы тока от времени i= i(t), постройте график зависимости силы тока от времени i= i(t)

Answer

Давайте последовательно решим поставленные задачи. 1. **Амплитудное значение напряжения** уже дано в уравнении колебаний напряжения в контуре \( u = U_m \cos(ωt) \), где \( U_m \) – это амплитудное значение напряжения. Из вашего уравнения \( u = 42 \cos(20t) \), видно, что \( U_m = 42 \) вольт. 2. **Частота колебаний** в вашем уравнении обозначена как \( 20I \), что, скорее всего, является опечаткой. Вероятно, имелось в виду \( 20t \), где знак \( t \) обозначает время. Если \( ω = 20 \) рад/с (радиан в секунду), это и есть круговая частота колебаний. Чтобы найти обычную (циклическую) частоту колебаний \( f \), используйте связь между круговой и обычной частотой: \( ω = 2πf \). Отсюда \( f = ω/(2π) = 20/(2π) \approx 3.18 \) Гц. 3. **Период колебаний** \( T \) – это время одного полного колебания, обратное частоте: \( T = 1/f \). Таким образом, \( T \approx 1/3.18 \approx 0.314 \) секунд. 4. **Индуктивность катушки** можно найти из формулы Томсона для колебательного контура, где период \( T = 2π\sqrt{LC} \). Отсюда индуктивность \( L = T^2 / (4π^2C) \). Подставляем электроёмкость С \( = 5 \) пФ (будьте внимательны: \( 5 \) пФ \( = 5×10^{-12} \) Ф) и ранее найденный период \( T \): \[ L = (0.314)^2 / (4π^2 × 5×10^{-12}) \approx 0.0985 / (39.478×5×10^{-12}) \] \[ L \approx 0.0985 / (197.39×10^{-12}) \] \[ L \approx 0.5×10^{-6} \] \[ L \approx 0.5 \) мкГн или \( 500 \) нГн. 5. **Уравнение зависимости силы тока от времени** \( i = i(t) \) можно получить, взяв производную от функции напряжения \( u(t) \) по времени, так как ток и напряжение связаны через закон Фарадея для индуктивных цепей \( u = L(di/dt) \): \[ i(t) = -(1/L)(du/dt) \] \[ i(t) = -(1/500×10^{-6}) × d/dt (42 \cos(20t)) \] \[ i(t) = (-1/(500×10^{-6})) × 42 × (-20) \sin(20t) \] \[ i(t) = (1/500×10^{-6}) × 840 \sin(20t) \] \[ i(t) = (840×10^6/500) \sin(20t) \] \[ i(t) = 1.68 \sin(20t) \) А. То есть амплитуда тока составляет 1.68 А, и фаза сдвинута на \( π/2 \) по отношению к фазе напряжения, что характерно для колебательного контура. 6. **График зависимости силы тока от времени** \( i = i(t) \) будет представлять собой синусоиду с амплитудой 1.68 А и периодом, равным периоду напряжения 0.314 секунды. Чтобы построить этот график, нанесите по горизонтальной оси время \( t \), а по вертикальной оси – силу тока \( i \), и нарисуйте синусоиду с соответствующими параметрами.