Напряжение в колебательном контуре изменяется по закону: u=42cos(20It), электроёмкость конденсатора С-5пФ. Определите амплитудное значение напряжения, период и частоту колебаний, индуктивность катушки, напишите уравнение зависимости силы тока от времени i= i(t), постройте график зависимости силы тока от времени i= i(t)

Для начала определим амплитудное значение напряжения. По формуле колебаний напряжения в контуре \( u = U_m \cos(\omega t) \), где \( U_m \) - амплитудное значение напряжения, а \( \omega \) - круговая частота колебаний. Из заданного уравнения \( u = 42 \cos(20t) \), видно, что амплитудное значение напряжения \( U_m = 42 \) В.

Теперь определим период и частоту колебаний. Исходя из уравнения колебаний, у нас есть круговая частота \( \omega = 20 \frac{1}{с} \). Круговая частота связана с частотой \( f \) через \( \omega = 2 \pi f \). Таким образом, частота колебаний равна:

\[ f = \frac{\omega}{2 \pi} = \frac{20}{2 \pi} \approx \frac{10}{\pi} \approx 3.18 \text{ Гц} \]

Период колебаний \( T \) - это величина, обратная частоте, то есть:

\[ T = \frac{1}{f} = \frac{1}{3.18} \text{ с} \approx 0.314 \text{ с} \]

Чтобы найти индуктивность катушки \( L \), воспользуемся формулой Томсона для периода свободных колебаний в LC-контуре:

\[ T = 2\pi\sqrt{LC}, \]

где \( C \) - емкость конденсатора. Перепишем формулу, выразив \( L \):

\[ L = \frac{T^2}{4\pi^2C}. \]

Подставим известные значения:

\[ C = 5\text{нФ} = 5 \times 10^{-9} \text{Ф} \] \[ T \approx 0.314 \text{ с} \]

\[ L = \frac{(0.314)^2}{4 \pi^2 \times 5 \times 10^{-9}} \]

Рассчитаем:

\[ L \approx \frac{0.098596}{39.4784 \times 10^{-9}} \text{ Гн} \] \[ L \approx 2.497 \text{ мГн}. \]

Теперь определим уравнение для силы тока в функции времени \( i(t) \). Сила тока \( i \) и напряжение \( u \) в колебательном контуре связаны через производную:

\[ u(t) = L \frac{di(t)}{dt}, \]

где \( u(t) = 42 \cos(20t) \). Чтобы найти \( i(t) \), нам нужно интегрировать выражение для \( u(t) \) по времени:

\[ i(t) = \frac{1}{L} \int u(t) dt = \frac{1}{L} \int 42 \cos(20t) dt. \]

Интеграл от косинуса - это синус, с учетом коэффициента \( 20 \) перед \( t \), получаем:

\[ i(t) = \frac{42}{L \times 20} \sin(20t) = \frac{42}{2.497 \times 10^{-3} \times 20} \sin(20t). \]

\[ i(t) = \frac{42}{49.94 \times 10^{-3}} \sin(20t) \]

\[ i(t) = \frac{42}{0.04994} \sin(20t) \]

\[ i(t) \approx 840.8 \sin(20t) \text{ мА}. \]

График зависимости силы тока от времени \( i(t) \) будет представлять собой синусоиду с амплитудой \( 840.8 \text{ мА} \) и круговой частотой \( 20 \frac{рад}{с} \).

Чтобы нарисовать график как функцию от времени, на оси абсцисс отложим время, а на оси ординат - силу тока. График будет колебаться от \( +840.8 \text{ мА} \) до \( -840.8 \text{ мА} \) с периодом \( T \approx 0.314 \text{ с} \).

Обратите внимание, что для построения графика в программе или с помощью графической утилиты возможно потребуются значения в системных единицах, поэтому \( 840.8 \text{ мА} \) следует преобразовать в амперы, взяв \( 840.8 \times 10^{-3} \text{ А} \).