Орбитальная скорость астероид в 3 раза меньше орбитальной скорости земли вокруг Солнца. определите радиус орбиты астероида.

Question 1

Задача Задача №46264

А

Аноним

15 ноября 2023 11:47 · публичный вопрос

А

Аноним 15 ноября 2023 11:47

Орбитальная скорость астероид в 3 раза меньше орбитальной скорости земли вокруг Солнца. определите радиус орбиты астероида.

Answer

Орбитальная скорость небесного тела вокруг Солнца зависит от его радиуса орбиты и может быть определена по третьему закону Кеплера, который устанавливает зависимость между периодом обращения небесного тела вокруг Солнца и радиусом его орбиты. В упрощенной формуле, следующей из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона, орбитальная скорость \(v\) выражается через гравитационную постоянную \(G\), массу Солнца \(M\) и радиус орбиты \(r\):

\[v = \sqrt{\frac{GM}{r}}\]

Где:

\(v\) - орбитальная скорость,
\(G\) - гравитационная постоянная,
\(M\) - масса Солнца,
\(r\) - радиус орбиты.

Орбитальная скорость Земли вокруг Солнца примерно равна \(v_з = 29.78\) км/с. Согласно условию задачи мы знаем, что орбитальная скорость астероида втрое меньше, то есть \(v_а = v_з / 3\). Теперь мы можем выразить радиус орбиты астероида \(r_а\):

\[v_а = \sqrt{\frac{GM}{r_а}}\] \[\left(\frac{v_з}{3}\right)^2 = \frac{GM}{r_а}\]

Теперь подставим вместо \(v_а\) значение орбитальной скорости Земли \(v_з\), поделенной на 3:

\[\left(\frac{v_з}{3}\right)^2 = \frac{GM}{r_а}\] \[\left(\frac{29.78}{3}\right)^2 = \frac{GM}{r_а}\]

Раскроем квадрат и найдем \(r_а\):

\[\left(\frac{29.78}{3}\right)^2 = \frac{GM}{r_а}\] \[r_а = \frac{GM}{\left(\frac{29.78}{3}\right)^2}\]

Мы знаем, что для Земли (где \(r_з\) - радиус орбиты Земли):

\[v_з^2 = \frac{GM}{r_з}\] \[r_з = \frac{GM}{v_з^2}\]

Таким образом, отношение радиусов астероида и Земли будет следующим:

\[\frac{r_а}{r_з} = \frac{\frac{GM}{\left(\frac{29.78}{3}\right)^2}}{\frac{GM}{(29.78)^2}}\] \[\frac{r_а}{r_з} = \frac{(29.78)^2}{\left(\frac{29.78}{3}\right)^2}\] \[\frac{r_а}{r_з} = 3^2\]

Так как \(r_з\) (средний радиус орбиты Земли) составляет примерно 1 астрономическую единицу (AU), или около 149.6 млн км, можно выразить радиус орбиты астероида \(r_а\):

\[r_а = 3^2 r_з\] \[r_а = 9 \times 1 \text{ AU}\] \[r_а = 9 \text{ AU}\]

Итак, радиус орбиты астероида приблизительно в 9 раз больше радиуса орбиты Земли, что составляет 9 астрономических единиц.

Question 2

орбитальная скорость астероид в 3 раза меньше орбитальной скорости земли вокруг Солнца. определите радиус орбиты астероида.

Answer

Орбитальная скорость небесного тела вокруг Солнца зависит от его радиуса орбиты и может быть определена по третьему закону Кеплера, который устанавливает зависимость между периодом обращения небесного тела вокруг Солнца и радиусом его орбиты. В упрощенной формуле, следующей из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона, орбитальная скорость \(v\) выражается через гравитационную постоянную \(G\), массу Солнца \(M\) и радиус орбиты \(r\): \[v = \sqrt{\frac{GM}{r}}\] Где: - \(v\) - орбитальная скорость, - \(G\) - гравитационная постоянная, - \(M\) - масса Солнца, - \(r\) - радиус орбиты. Орбитальная скорость Земли вокруг Солнца примерно равна \(v_з = 29.78\) км/с. Согласно условию задачи мы знаем, что орбитальная скорость астероида втрое меньше, то есть \(v_а = v_з / 3\). Теперь мы можем выразить радиус орбиты астероида \(r_а\): \[v_а = \sqrt{\frac{GM}{r_а}}\] \[\left(\frac{v_з}{3}\right)^2 = \frac{GM}{r_а}\] Теперь подставим вместо \(v_а\) значение орбитальной скорости Земли \(v_з\), поделенной на 3: \[\left(\frac{v_з}{3}\right)^2 = \frac{GM}{r_а}\] \[\left(\frac{29.78}{3}\right)^2 = \frac{GM}{r_а}\] Раскроем квадрат и найдем \(r_а\): \[\left(\frac{29.78}{3}\right)^2 = \frac{GM}{r_а}\] \[r_а = \frac{GM}{\left(\frac{29.78}{3}\right)^2}\] Мы знаем, что для Земли (где \(r_з\) - радиус орбиты Земли): \[v_з^2 = \frac{GM}{r_з}\] \[r_з = \frac{GM}{v_з^2}\] Таким образом, отношение радиусов астероида и Земли будет следующим: \[\frac{r_а}{r_з} = \frac{\frac{GM}{\left(\frac{29.78}{3}\right)^2}}{\frac{GM}{(29.78)^2}}\] \[\frac{r_а}{r_з} = \frac{(29.78)^2}{\left(\frac{29.78}{3}\right)^2}\] \[\frac{r_а}{r_з} = 3^2\] Так как \(r_з\) (средний радиус орбиты Земли) составляет примерно 1 астрономическую единицу (AU), или около 149.6 млн км, можно выразить радиус орбиты астероида \(r_а\): \[r_а = 3^2 r_з\] \[r_а = 9 \times 1 \text{ AU}\] \[r_а = 9 \text{ AU}\] Итак, радиус орбиты астероида приблизительно в 9 раз больше радиуса орбиты Земли, что составляет 9 астрономических единиц.