Правильно, слово "первый" в данном контексте является прилагательным. В русском языке прилагательные изменяются по родам, числам и падежам, и служат для описания качества, признака или свойства существительных. Как вы отметили, оно отвечает на вопрос "какой?" и указывает на порядковый номер объекта или явления, в вашем случае – на мороз. "Первый мороз" означает, что это мороз, который произошёл первым в определённом контексте, например, может быть первым морозом сезона.

Совершенно верно. В русском языке прилагательные действительно изменяются по родам, числам и падежам, и "первый" — это порядковое числительное, которое в данном контексте используется как прилагательное. Поэтому оно должно согласовываться с существительным, к которому относится, по роду, числу и падежу. Например:

• Первый мороз (мужской род, единственное число, именительный падеж)
• Первого мороза (мужской род, единственное число, родительный падеж)
• О первом морозе (мужской род, единственное число, предложный падеж)

И так далее в зависимости от контекста и необходимого падежа. Понимание этих особенностей языка очень важно при подготовке к экзаменам по русскому языку.