В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 8, а боковове ребро SA равно 10. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN:NC=SK:KC = 1:7. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC. а)  Докажите, что плоскость α делит ребро SB в отношении 1 : 7, считая от вершины S. б)  Найдите расстояние между прямыми SA и KN.

а) Докажем, что плоскость α делит ребро SB в отношении 1:7. Рассмотрим треугольники SKC и SBN. Так как DN:NC=1:7 и угол KSC=KBC=CBN, то эти треугольники подобны. Из подобия получаем, что SB:SC=BN:NC=1:7. Так как SC=SA, то SB:SA=SB:SC+SC:SA=1:7+1=1:8. Значит, плоскость α делит ребро SB в отношении 1:7.

б) Расстояние между прямыми SA и KN равно расстоянию от точки S до плоскости α. Так как плоскость α параллельна BC, то это расстояние равно расстоянию от точки S до прямой BC. По условию, у нас есть треугольник SKC, в котором KC=7SC. Тогда SC=CA/8 и SA^2=CA^2+SC^2=10^2+8^2=164, откуда SA=sqrt(164). Искомое расстояние равно 7/8 от стороны основания AB, то есть (7/8)*8=7.