Определи объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры ограниченной линиями
Давайте разберёмся с этой задачей по шагам.
Понимаем контекст задачи - нам нужно найти объём тела, которое образуется вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной двумя данными линиями: \(y = 6x^2\) и \(y = 6x\).
Определяем, что фигура, ограниченная этими линиями, представляет собой плоскую область, и при вращении вокруг оси абсцисс (ось \(x\)) эта область сформирует тело вращения.
Для нахождения объёма такого тела мы могли бы использовать метод дисков или цилиндрических слоёв (метод оболочек), но смотря на вопрос о том, объём какого тела мы должны будем вычислить далее, становится понятно, что необходимо использовать метод дисков. Это значит, нам нужно интегрировать площадь диска, полученного в результате вращения малого отрезка функции вокруг оси абсцисс.
Первым делом, определим точки пересечения функций \(6x^2\) и \(6x\), чтобы узнать пределы интегрирования. Приравниваем их: \(6x^2 = 6x\). Отсюда находим \(x\): \(x(x - 1) = 0\), следовательно, \(x = 0\) и \(x = 1\). Это наши пределы интегрирования.
Тело вращения образовано вращением вокруг оси
