22

Привет! Давай попробуем вместе разобраться с задачей номер 22.

Исходя из текста задания, у нас есть два уравнения:

1. \(\cos \alpha\)
2. \(\tan \alpha\), если известно, что \(\sin \alpha = -\frac{1}{3}\) и \(\alpha\) находится в интервале между \(\pi\) и \(\frac{3\pi}{2}\).

Сначала нам нужно найти \(\cos \alpha\). Мы знаем, что \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\). Подставим наше значение синуса в это уравнение:

\((- \frac{1}{3})^2 + \cos^2 \alpha = 1\)

\(\frac{1}{9} + \cos^2 \alpha = 1\)

\(\cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{9}\)

\(\cos^2 \alpha = \frac{8}{9}\)

Далее, у нас два возможных значения для \(\cos \alpha\): \(\frac{\sqrt{8}}{3}\) или \(-\frac{\sqrt{8}}{3}\). Но так как мы находимся в интервале между \(\pi\) и \(\frac{3\pi}{2}\) (третья четверть координатной плоскости), где и синус, и косинус отрицательны, \(\cos \alpha = -\frac{\sqrt{8}}{3}\).

Теперь найдем \(\tan \alpha\). Тангенс — это отношение синуса к косинусу:

\(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{\sqrt{8}}{3}} = \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{8}}{8}\)

Тепер