Докажите, что любой отрезок с концами на разных сторонах треугольника не больше наибольшей из сторон треугольника

Для доказательства этого утверждения рассмотрим треугольник ABC и отрезок DE, концы которого находятся на разных сторонах треугольника. Пусть D лежит на стороне AB, а E на стороне AC.

Так как D и E лежат на разных сторонах треугольника, то существует точка M на стороне BC, такая что отрезок DM параллелен стороне AC, а отрезок EM параллелен стороне AB.

Таким образом, получаем, что треугольники DME и ABC подобны. Поэтому сторона DE относится к стороне BC так же, как сторона AC к стороне AB и сторона AB к стороне BC.

Так как стороны треугольника никогда не могут быть равными, из этого следует, что отрезок DE всегда будет меньше наибольшей из сторон треугольника.