Вычислить

Привет! Давай вместе разберёмся с этим примером.

У нас есть выражение:

\[ \frac{2 \cos^2 \left(\frac{\pi}{8}\right) - 1}{1 + 8 \sin^2 \left(\frac{\pi}{8}\right) - \cos^2 \left(\frac{\pi}{8}\right)}. \]

Чтобы упростить это выражение, давай вспомним основные тригонометрические тождества. Одно из них говорит нам, что \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) для любого угла \(\alpha\).

Теперь преобразуем числитель: вспомним, что \(\cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1\), поэтому \(2 \cos^2 \left(\frac{\pi}{8}\right) - 1\) это как раз \(\cos(\frac{\pi}{4})\), а \(\cos(\frac{\pi}{4})\) равен \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Для знаменателя: выражение \(8 \sin^2 \left(\frac{\pi}{8}\right) - \cos^2 \left(\frac{\pi}{8}\right)\) можно заменить на \(8 - 8 \cos^2 \left(\frac{\pi}{8}\right) - \cos^2 \left(\frac{\pi}{8}\right)\), отняв от обеих сторон уравнения \(8 \cos^2 \left(\frac{\pi}{8}\right)\). Получим \(8 - 9 \cos^2 \left(\frac{\pi}{8}\right)\).

Теперь, если снова вспомнить, что \(\cos^2(\alpha) = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}\), то для угла \(\frac{\pi}{4}\) у нас есть (\cos