5. Чему равна сила взаимного притяжения между Луной и Землей, если масса Земли 6 • 10 2 кг, масса Луны 7,3 • 10" кг и расстояние между центрами Земли и Луны 384 000 км? 6. Во сколько раз уменьшится сила притяжения космического корабля к Земле при его подъеме на высоту, равную радиусу Земли? 7. Рассчитайте отношение скоростей концов минутной и се кундной стрелок часов, если минутная стрелка в 3 раза длиннее секундной. 8. Какую скорость должен иметь искусственный спутник Луны для того, чтобы он обращался вокруг нее по круговой ор бите на высоте 40 км? Ускорение свободного падения для Луны на этой высоте равно 1,6 м/с", а радиус Луны 1760 км. 9. На какой высоте над поверхностью Земли скорость искус ственного спутника Земли, движущегося по круговой орбите, должна составлять 1 км/с? Радиус Земли принять равным 6400 км; считать на поверхности Земли g и 10 м/с*. 10. С какой минимальной скоростью нужно вращать в верти кальной плоскости ведро с водой, чтобы при прохождении через высшую точку вода из него не вылилась? Ведро подвешено на веревке длиной 50 см. 11. Определите, чему равна первая космическая скорость на планете Марс. Масса Марса 6,43 • 10 23 кг, средний радиус Марса 3,38- 10" м. 12. Рассчитайте ускорение свободного падения тела иа высо те 600 км над поверхностью Земли. Радиус Земли 6400 км. 13. Средний радиус планеты Меркурий 2420 км, а ускорение свободного падения 3,72 м/с". Найдите массу Меркурия.
Для выполнения этих задач нам понадобится несколько физических формул, таких как закон всемирного тяготения Ньютона, формулы для центростремительного ускорения и первой космической скорости, а также формула для гравитационного ускорения.
- Закон всемирного тяготения Ньютона: \[ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \] Где \( F \) — сила гравитации, \( G \) — гравитационная постоянная (\( G \approx 6.674 \times 10^{-11} \text{Нм}^2/\text{кг}^2 \)), \( m_1 \) и \( m_2 \) — массы тел, \( r \) — расстояние между центрами масс тел.
Подставив данные значения (с учётом, что масса Земли \( 6 \times 10^{24} \) кг, масса Луны \( 7.3 \times 10^{22} \) кг и расстояние между ними 384000 км или \( 3.84 \times 10^8 \) м), получим силу гравитационного притяжения между Землёй и Луной.
Сила гравитации уменьшается с квадратом расстояния от центра Земли. Если корабль поднялся на высоту равную радиусу Земли \( R \), то расстояние от центра увеличилось вдвое, следовательно сила уменьшилась в \( 2^2 = 4 \) раза.
Скорость на конце стрелки равна \( v = \omega r \), где \( \omega \) — угловая скорость, \( r \) — длина стрелки. Поскольку обе стрелки совершают один оборот за одно и то же время (60 минут и 60 секунд соответственно), угловые скорости у них одинаковые. Таким образом, отношение скоростей концов стрелок будет соответствовать отношению их длин, то есть 3:1.
Центростремительное ускорение для спутника: \[ a_c = \frac{v^2}{r} \] где \( a_c \) — центростремительное ускорение, \( v \) — скорость спутника, \( r \) — радиус орбиты спутника.
\[ a_c = g \] \[ v = \sqrt{g(r + h)} \] где \( g = 1.6 \) м/с², \( r = 1760000 \) м, \( h = 40000 \) м. Подставим и найдем \( v \).
Воспользуемся аналогичным методом, что и в задаче 8, но с учетом, что \( a_c \) здесь неизвестна, а \( v \) известна: \[ v = \sqrt{g(r + h)} \] \[ g = G \frac{M}{(R + h)^2} \] где \( M \) — масса Земли, \( R \) — радиус Земли, \( h \) — высота над поверхностью Земли. Надо выразить \( h \) и подставить \( g = 9.8 \) м/с², \( M \) и \( R \), и поскольку \( v \) задана как 1 км/с, то необходимо перевести в м/с (1 км/с = 1000 м/с).
Минимальная скорость в верхней точке маятника (веревки с ведром), чтобы вода не вылитась: \[ a_c = \frac{v^2}{R} \] \[ a_c \ge g \] \[ v \ge \sqrt{gR} \] Где \( R \) — длина веревки (0.5 м), \( g \) — ускорение свободного падения. Из этого следует скорость \( v \).
Первая космическая скорость: \[ v_1 = \sqrt{G \frac{M}{R}} \] Где \( M \) — масса Марса (\( 6.43 \times 10^{23} \) кг), \( R \) — радиус Марса (\( 3.38 \times 10^6 \) м), \( G \) — гравитационная постоянная.
Гравитационное ускорение на высоте \( h \) над поверхностью Земли: \[ g_h = G \frac{M}{(R + h)^2} \] Где \( M \) — масса Земли, \( R \) — радиус Земли, \( h \) — высота (600000 м). Нужно определить новое ускорение \( g_h \).
Массу Меркурия можно найти из формулы гравитационного ускорения: \[ g = G \frac{M}{R^2} \] \[ M = \frac{gR^2}{G} \] Где \( g \) — ускорение свободного падения на Меркурии, \( R \) — средний радиус Меркурия, \( G \) — гравитационная постоянная.
Для точных расчетов необходимо использовать численные значения постоянных и подставлять их в формулы. Некоторые значения я привел здесь, но при подсчетах нужно использовать полные численные данные.
