5. Чему равна сила взаимного притяжения между Луной и Землей, если масса Земли 6 • 10 2 кг, масса Луны 7,3 • 10" кг и расстояние между центрами Земли и Луны 384 000 км? 6. Во сколько раз уменьшится сила притяжения космического корабля к Земле при его подъеме на высоту, равную радиусу Земли? 7. Рассчитайте отношение скоростей концов минутной и се кундной стрелок часов, если минутная стрелка в 3 раза длиннее секундной. 8. Какую скорость должен иметь искусственный спутник Луны для того, чтобы он обращался вокруг нее по круговой ор бите на высоте 40 км? Ускорение свободного падения для Луны на этой высоте равно 1,6 м/с", а радиус Луны 1760 км. 9. На какой высоте над поверхностью Земли скорость искус ственного спутника Земли, движущегося по круговой орбите, должна составлять 1 км/с? Радиус Земли принять равным 6400 км; считать на поверхности Земли g и 10 м/с*. 10. С какой минимальной скоростью нужно вращать в верти кальной плоскости ведро с водой, чтобы при прохождении через высшую точку вода из него не вылилась? Ведро подвешено на веревке длиной 50 см. 11. Определите, чему равна первая космическая скорость на планете Марс. Масса Марса 6,43 • 10 23 кг, средний радиус Марса 3,38- 10" м. 12. Рассчитайте ускорение свободного падения тела иа высо те 600 км над поверхностью Земли. Радиус Земли 6400 км. 13. Средний радиус планеты Меркурий 2420 км, а ускорение свободного падения 3,72 м/с". Найдите массу Меркурия.
- Для вычисления силы взаимного притяжения между Землёй и Луной используем закон всемирного тяготения Ньютона:
\[ F = G \times \frac{M_1 \times M_2}{r^2} \]
Где:
- \( F \) - сила гравитационного притяжения между двумя телами,
- \( G \) - гравитационная постоянная, \( G \approx 6.674 \times 10^{-11} \) м³/(кг∙с²),
- \( M_1 \) и \( M_2 \) - массы тел,
- \( r \) - расстояние между центрами тел.
Масса Земли: \( M_1 = 6 \times 10^{24} \) кг (в условии пропущена степень для обозначения 10^24), Масса Луны: \( M_2 = 7.3 \times 10^{22} \) кг, Расстояние между Землёй и Луной: \( r = 384,000 \) км = \( 3.84 \times 10^{8} \) м.
Подставим значения в формулу:
\[ F = 6.674 \times 10^{-11} \times \frac{6 \times 10^{24} \times 7.3 \times 10^{22}}{(3.84 \times 10^{8})^2} \] \[ F = 6.674 \times 10^{-11} \times \frac{4.38 \times 10^{47}}{1.475136 \times 10^{17}} \] \[ F \approx 1.982 \times 10^{30} \div 1.475136 \times 10^{17} \] \[ F \approx 1.34 \times 10^{13} \] Н.
Используя тот же закон всемирного тяготения, получим, что при увеличении расстояния в два раза (при подъеме на высоту, равную радиусу Земли), сила притяжения уменьшится в четыре раза, так как сила зависит от квадрата расстояния \( r \).
Поскольку минутная стрелка в 3 раза длиннее секундной, и они делают полный круг за равное время (60 минут для минутной и 60 секунд для секундной), скорость конца минутной стрелки будет в 3 раза больше, чем конца секундной.
Скорость искусственного спутника \( v \) найдём из формулы:
\[ v = \sqrt{g \times (r + h)} \]
где:
- \( g = 1.6 \) м/с² - ускорение свободного падения на высоте 40 км,
- \( r = 1760 \) км = \( 1.76 \times 10^{6} \) м - радиус Луны,
- \( h = 40 \) км = \( 4 \times 10^{4} \) м - высота над поверхностью
\[ v = \sqrt{1.6 \times (1.76 \times 10^{6} + 4 \times 10^{4})} \] \[ v = \sqrt{1.6 \times 1.8 \times 10^{6}} \] \[ v = \sqrt{2.88 \times 10^{6}} \] \[ v \approx 1697 \] м/с.
- Для найдения высоты \( h \) используем формулу первой космической скорости:
\[ v = \sqrt{\frac{G \times M}{R + h}} \]
где \( v \) - скорость спутника, \( R \) - радиус Земли, \( M \) - масса Земли, \( G \) - гравитационная постоянная. Отсюда мы можем выразить \( h \) и рассчитать её, зная остальные параметры.
- Минимальная скорость \( v \) на верхней точке для того, чтобы вода не вылилась, будет равна:
\[ v = \sqrt{g \times r} \]
где \( g \) - ускорение свободного падения на Земле (9.8 м/с²) и \( r \) - длина веревки (0.5 м).
- Первая космическая скорость на Марсе \( v \):
\[ v = \sqrt{\frac{G \times M}{R}} \]
где \( M \) - масса Марса, \( R \) - радиус Марса.
- Ускорение свободного падения \( g' \) на высоте \( h \):
\[ g' = g \times \left(\frac{R}{R + h}\right)^2 \]
где \( g \) - ускорение свободного падения на поверхности Земли, \( R \) - радиус Земли, \( h \) - высота над поверхностью Земли.
- Масса Меркурия \( M \):
\[ g = \frac{G \times M}{R^2} \]
Отсюда \( M \):
\[ M = \frac{g \times R^2}{G} \]
где \( g \) - ускорение свободного падения на поверхности Меркурия, \( R \) - радиус Меркурия, \( G \) - гравитационная постоянная.
