Однородный шарик помещен на плоскость, образующую угол а=30,0° с горизонтом (рис. 1.36). 1. При каких значениях коэффициента трения k шарик будет скатываться с плоскости без скольжения? 2. Полагая k=0,100, а) определить характер движения шарика, б) найти значения скоростей точек А, В и С шарика спустя t=1,00 с после начала движения.

1. Чтобы шарик скатывался без скольжения, сила трения f (которая является силой, противодействующей скольжению) должна быть достаточной, чтобы вызвать вращательное движение. Для скатывания без скольжения сила трения должна равняться составляющей силы тяжести, параллельной поверхности наклона, до достижения предельного значения статического трения, которое равно k раз нормальной составляющей силы тяжести; это означает, что касательная составляющая силы тяжести должна быть равна коэффициенту трения, умноженному на нормальную составляющую.

Давайте запишем это условие математически. Сила трения определяется как f = k * N, где N - нормальная сила, действующая на шарик. В нашем случае N = m * g * cos(α), где m - масса шарика, g - ускорение свободного падения, а α - угол наклона плоскости. Для шарика, скатывающегося без скольжения, сила трения должна также быть достаточной для предотвращения скольжения:

f ≥ m * g * sin(α)

Подставив выражение для N, получим:

k * m * g * cos(α) ≥ m * g * sin(α)

m и g сокращаются, и мы получаем:

k ≥ tan(α)

tan(30°) = √3/3 ≈ 0.577

Таким образом, для скатывания без скольжения коэффициент трения должен быть k ≥ 0.577.

2. При k = 0.100 шарик будет скользить, а не скатываться, потому что коэффициент трения меньше необходимого для предотвращения скольжения.

а) Характер движения шарика: шарик будет скользить вниз по плоскости, при этом его угловая скорость вращения не будет соответствовать его линейной скорости.

б) Для определения скорости точек A, B и C сначала необходимо найти ускорение шарика. Ускорение а шарика определяется силой, действующей вниз по наклонной плоскости, минус сила трения.

a = g * sin(α) - f/m

где f = k * m * g * cos(α), так как шарик скользит. Тогда, подставив силу трения, получаем:

a = g * sin(α) - k * g * cos(α)

Подставляем значения:

a = 9.8 * sin(30°) - 0.100 * 9.8 * cos(30°) a = 9.8 * 0.5 - 0.100 * 9.8 * √3/2 a = 4.9 - 0.100 * 9.8 * 0.866 a = 4.9 - 0.848

a = 4.052 м/с²

Теперь мы можем найти линейную скорость шарика после t = 1.00 с:

v = a * t v = 4.052 * 1.00 v = 4.052 м/с

Скорость точки А (в верхней точке шарика) будет равна нулю относительно земли, так как точка находится в момент кратковременной остановки при вращении шарика.

Скорость точки B (в нижней точке шарика) будет двойной относительно центра масс шарика, так как шарик скользит, а не катится без проскальзывания. То есть:

vB = 2 * v = 2 * 4.052 м/с ≈ 8.104 м/с

Скорость точки C (в точке контакта шарика и плоскости) относительно плоскости будет равна нулю, так как точка находится в момент контакта с плоскостью. Однако относительно земли скорость точки C будет равна линейной скорости шарика:

vC = v = 4.052 м/с

Обратите внимание, что, поскольку шарик скользит, не все эти соотношения точек А, В и С верны, как в случае чистого качения, и точка В имеет большую скорость, чем рассчитанная центральная скорость шарика.