Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Прямые АВ и CD пересекаются под углом а, прямые ВС и AD также пересекаются под углом а. Верно ли, что в четырёхугольнике ABCD есть два равных между собой угла?

Для решения этой задачи вспомним определение выпуклого четырехугольника и свойство суммы углов любого четырехугольника.

Все углы выпуклого четырехугольника меньше 180 градусов, и сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов.

Если прямые AB и CD пересекаются под углом α, а прямые BC и AD пересекаются также под углом α, то существует два случая:

1. Точка пересечения этих прямых лежит внутри четырехугольника ABCD.
2. Точка пересечения приходится на продолжение сторон четырехугольника.

В первом случае через точку пересечения можно провести две диагонали четырехугольника, и в результате получится два треугольника, в каждом из которых есть угол α. Тогда могут быть следующие варианты расположения углов α в четырехугольнике:

a) Углы α лежат напротив друг друга. В таком случае они не будут равны, так как один будет внутренним углом, а другой внешним относительно четырехугольника. b) Углы α будут прилегать к одной стороне четырехугольника. В этом случае они также не смогут быть равны, так как сумма смежных углов составляет 180 градусов, и если один из них равен α, то другой будет равен 180 - α.

Теперь рассмотрим второй случай, когда точка пересечения прямых лежит вне четырехугольника. В этом случае при пересечении прямых AB и CD образуется четырехугольник, в котором два внутренних угла равняются α, и два других внутренних угла образуются при пересечении прямых BC и AD и также равняются α.

Рассмотрим четырехугольник ABCD, где углы при A и C равны α (это внутренние углы). Точно так же углы при B и D при пересечении образуют внешние углы, равные друг другу и α (ведь их смежные углы при A и C равны α, и смежные углы в сумме дают 180 градусов, значит внешние углы при B и D тоже будут равны α).

Таким образом, в выпуклом четырехугольнике ABCD углы при вершинах A и C равны α, и углы при вершинах B и D равны 180 - α каждый, то есть в таком четырехугольнике на самом деле есть две пары равных углов: два угла равны α, и два других - равны 180 - α.

Это значит, что исходное утверждение верно, в четырехугольнике ABCD есть хотя бы два равных между собой угла.