Найти производную

Привет! Давай разберемся с этой задачей по нахождению производной.

На фотографии у тебя написана функция \( f(x) = 0,5 \cdot \cos^2 x \). Тебе нужно найти ее производную.

Здесь мы имеем дело с производной сложной функции, так как косинус возведен в квадрат. Для этого применим правило дифференцирования сложной функции (часто его называют "chain rule" на английском), а также формулу производной косинуса.

Сначала найдем производную внешней функции. Внешняя функция здесь это \( (0,5)^x \), дифференцировать будем по \( u = \cos x \), поэтому нам понадобится производная \( u^2 \), которая равна \( 2u \).

Теперь возьмем производную внутренней функции, то есть \( u = \cos x \), производная косинуса равна \( -\sin x \).

Когда мы умножаем производную внешней функции на производную внутренней, мы получаем:

\( f'(x) = 2 \cdot 0,5 \cdot \cos x \cdot (-\sin x) \)

Не забудь, что есть еще множитель \( 0,5 \), который остался от исходной функции. Так что окончательно производная будет выглядеть так:

\( f'(x) = -0,5 \cdot \sin 2x \)

Эта производная получилась по правилу нахождения производной произведения и правилу дифференцирования степени