Реши ее

Привет! Разберемся с задачей вместе.

Нам нужно упростить выражение

\[ \frac{{a^2 - 2ab + b^2}}{{a^2 - b^2}} + \frac{{ab}}{{a^2 + 2ab + b^2}} \]

и найти его значение при \( a = 2 \), \( b = 3 \).

Для начала упростим выражение. Заметим, что \( a^2 - 2ab + b^2 \) и \( a^2 + 2ab + b^2 \) — это полные квадраты. То есть:

\[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \] \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]

А \( a^2 - b^2 \) — это разность квадратов, которая равна:

\[ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \]

Подставим эти упрощения в выражение:

\[ \frac{{(a - b)^2}}{{(a + b)(a - b)}} + \frac{{ab}}{{(a + b)^2}} \]

Теперь сократим дроби, где это возможно. В первой дроби сократятся \( (a - b) \), и останется:

\[ \frac{{a - b}}{{a + b}} + \frac{{ab}}{{(a + b)^2}} \]

Теперь подставим значения \( a = 2 \) и \( b = 3 \) в упрощенную форму выражения:

\[ \frac{{2 - 3}}{{2 + 3}} + \frac{{2 \cdot 3}}{{(2 + 3)^2}} = \frac{{-1}}{{5}} + \frac{{6}}{{25}} = -\frac{1}{5} + \frac{6}{25} \]

Теперь приведем к общему знаменателю: