.

Привет! Давай вместе разберёмся с этой задачей.

Нам нужно найти значение \( \text{tg} \alpha \), при условии, что \( \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}} \) и \( \alpha \) лежит в интервале \( (1,5\pi; 2\pi) \).

Шаг 1: Определим знаки тригонометрических функций в указанном интервале. Исходя из того, что \( 1,5\pi \) — это полтора оборота от исходного положения (по сути, это угол в \( 270^\circ \)), а \( 2\pi \) — это полные два оборота (или \( 360^\circ \)), мы видим, что угол \( \alpha \) находится в четвёртом квадранте. В этом квадранте косинус положителен (по условию задачи это подтверждается), а тангенс и синус отрицательны.

Шаг 2: Вспоминаем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

Шаг 3: Подставим известное нам значение косинуса в тождество, чтобы найти синус: \( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \). \( \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{\sqrt{10}})^2 \). \( \sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{10} \). \( \sin^2 \alpha = \frac{10}{10} - \frac{1}{10} \). \( \sin^2 \alpha = \frac{9}{10} \).

Шаг 4: Учитываем, что синус от