Математик

Привет! На картинке у нас задача по тригонометрии. Нужно найти значение тангенса угла \( \alpha \), если \( \sin(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{26}} \) и \( \alpha \) находится в интервале от \( 0.5\pi \) до \( \pi \). Давай решим её вместе шаг за шагом.

Для начала вспомним, что тангенс угла \( \alpha \) определяется как отношение синуса этого угла к косинусу, то есть \( \text{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \).

У нас есть значение синуса, но нам нужно узнать косинус. Для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \).

Из этого тождества выразим косинус: \( \cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) \). Подставим наше значение синуса:

\( \cos^2(\alpha) = 1 - \left(\frac{1}{\sqrt{26}}\right)^2 \) \( \cos^2(\alpha) = 1 - \frac{1}{26} \) \( \cos^2(\alpha) = \frac{26}{26} - \frac{1}{26} \) \( \cos^2(\alpha) = \frac{25}{26} \)

Так как \( \alpha \) находится в интервале от \( 0.5\pi \) до \( \pi \), это значит, что \( \alpha \) находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Так что нам нужно взять отрицательный корень для к