Была ли резиденция Новгородского князя 13-го – 14-го века за городом

Да, слово "Новгород" в древнерусских источниках употреблялось для обозначения как самого Новгорода, так и его окрестностей, поэтому резиденция князей могла располагаться как в городе, так и за его пределами.