Три окружности одного и того же радиуса касаются друг друга внешним образом и касаются окружности радиуса R изнутри (рис. 3).Найдите : а) радиусы окружностей и б) сумму длин дуг, ограничивающих закрашенную на рисунке область. Дано:

Привет! Посмотрим на рисунок и попробуем вместе решить задачу. Мы видим, что три меньшие окружности касаются друг друга и внутренней стороны большой окружности. По условию задачи, все они имеют одинаковый радиус, которого нам нужно найти, а также нужно найти сумму длин дуг, заключённых в закрашенной области.

а) Чтобы найти радиусы маленьких окружностей, воспользуемся тем, что расстояние между центрами касающихся окружностей равно сумме их радиусов. Если обозначить радиус маленьких окружностей через \( r \), то расстояние между центрами маленькой и большой окружностей будет равно \( R - r \). Теперь рассмотрим треугольник, образованный центрами трёх маленьких окружностей. Этот треугольник будет равносторонним с длиной стороны \( 2r \) (поскольку центры касающихся окружностей удалены друг от друга на расстояние, равное сумме их радиусов, т.е. \( r + r \)).

В равностороннем треугольнике высота также служит медианой и биссектрисой. Если у нас есть высота равностороннего треугольника и сторона, мы можем найти высоту, зная, что она делит ст