Три окружности одного и того же радиуса касаются друг друга внешним образом и касаются окружности радиуса R изнутри (рис. 3).Найдите : а) радиусы окружностей и б) сумму длин дуг, ограничивающих закрашенную на рисунке область.

Привет! Давай посмотрим на рисунок и разберемся в задаче. На изображении видно четыре окружности: три меньших равного размера, которые касаются друг друга и большей окружности внутри. Большая окружность имеет радиус R. Наша задача — найти радиусы маленьких окружностей и сумму длин дуг, образующих закрашенную область.

Давай для начала найдем радиусы маленьких окружностей. Если обозначить радиус маленькой окружности за r, то можно увидеть, что треугольник, образованный центрами трех маленьких окружностей, является равносторонним. Каждая сторона этого треугольника равна 2r, так как она состоит из двух радиусов, касающихся окружностей. Теперь рассмотрим радиус большой окружности, проведенный к точке касания с одной из маленьких окружностей. Получаем два равносторонних треугольника, в каждом из которых одна сторона равна R (радиус большой окружности), а другие две стороны — это r+r (радиус большой окружности плюс радиус маленькой окружности). Отсюда, используя свойства равностороннего треугольника, можем установить равенство R = 2r + r.

Теперь преобразуем это равенство:

R = 3r

Отсюда находим