Три окружности одного и того же радиуса касаются друг друга внешним образом и касаются окружности радиуса R изнутри (рис. 3).Найдите : а) радиусы окружностей и б) сумму длин дуг, ограничивающих закрашенную на рисунке область.
Привет! Давай посмотрим на картинку и решим задачу вместе. На картинке изображено четыре окружности: три меньших одинакового размера, которые внешним образом касаются друг друга, и одна большая, которой три меньшие окружности касаются изнутри. Чтобы найти радиусы меньших окружностей, давай воспользуемся следующим методом:
Для начала заметим, что центры меньших окружностей и центр большой окружности образуют равносторонний треугольник. Почему? Потому что все три меньшие окружности одинаковы и касательные в точках касания показывают, что углы между центрами окружностей равны 120 градусов (360 градусов разделить на 3).
Если обозначить радиус малых окружностей за r, то расстояние между центрами любых двух малых окружностей будет равно 2r (так как они касаются внешним образом).
Точно так же расстояние от центра каждой малой окружности до центра большой окружности будет равно R + r (радиус большой плюс радиус малой).
Используя свойства равностороннего треугольника, мы можем установить, что его сторона (то есть 2r) равна высоте треугольника разделённой на \(\sqrt{3}/2 \). Но
