Три окружности одного и того же радиуса касаются друг друга внешним образом и касаются окружности радиуса R изнутри (рис. 3).Найдите : а) радиусы окружностей и б) сумму длин дуг,…
Три окружности одного и того же радиуса касаются друг друга внешним образом и касаются окружности радиуса R изнутри (рис. 3).Найдите : а) радиусы окружностей и б) сумму длин дуг, ограничивающих закрашенную на рисунке область.
Привет! Давай посмотрим на эту геометрическую задачу вместе.
Итак, перед нами рисунок, где три малых окружности одинакового радиуса r касаются друг друга и внутренней стороны большой окружности радиуса R. Нам нужно:
а) Найти радиусы малых окружностей.
б) Вычислить сумму длин дуг, ограничивающих закрашенную область.
Для начала решим первый пункт:
Представим равносторонний треугольник, вершинами которого являются центры малых окружностей. Сторона этого треугольника равна 2r (так как радиусы двух соседних малых окружностей касаются друг друга). Теперь добавим высоту к этому треугольнику, которая также будет являться радиусом большой окружности, так как она соединит центр большой окружности с точкой касания двух малых окружностей.
Высота равностороннего треугольника считается по формуле \(\frac{\sqrt{3}}{2} \times сторона\). Однако, так как в большую окружность вписаны еще и маленькие окружности, к высоте равностороннего треугольника нужно добавить еще один радиус маленькой окружности. То есть получается, что R = r + \(\frac{\sqrt{3}}{2} \times 2r\), что можно упрост
