вычеслите наиболее рациональным способом

Привет! Давай вместе решим этот пример.

У нас есть выражение:

\[ \frac{4^2 \cdot (-12)^3 \cdot 9}{32 \cdot (-3^4)} \]

Для начала упростим его, используя свойства степеней и деление множителей с одинаковыми основаниями.

1. В числителе приведём выражение к виду, где порядок умножения не имеет значения (по свойству переместительности умножения), а также распишем отрицательную степень:

\[ 4^2 \cdot (-12)^3 \cdot 9 = 16 \cdot (-12 \cdot 12 \cdot 12) \cdot 9 \]

2. В знаменателе упростим 32, так как это \(2^5\) (так как 32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2), и отрицательную степень \(-3^4\), которую можно записать как \((-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3)\) или \(81\):

\[ 32 \cdot (-3^4) = 2^5 \cdot 81 \]

3. Теперь упростим числитель. Значение \((-12)^3\) можно разбить на \(-1\) и \(12^3\), что даст нам \(-1728\) (так как \(12^3 = 1728\)). Таким образом:

\[ 16 \cdot (-1728) \cdot 9 = -16 \cdot 1728 \cdot 9 \]

4. Умножим 16 на 9, что даст нам \(144\), и после умножим результат на \(-1728\):

\[ 144 \cdot (-1728) = -248832 \]

5. Поделим результат числителя на знаменатель:

[ \text{Поск