13

Привет! Давай вместе решим эту задачку.

На рисунке мы видим правильную четырехугольную пирамиду. Это значит, что основание пирамиды - это квадрат, а все боковые рёбра равны. Нам дана сторона основания \(4\sqrt{2}\) и боковое ребро, равное \(\sqrt{97}\).

Чтобы найти объём пирамиды, нам нужно знать площадь основания и высоту. Площадь основания - это квадрат стороны квадрата, то есть \(4\sqrt{2} \times 4\sqrt{2} = 16 \cdot 2 = 32\).

Теперь давай найдём высоту пирамиды. Высота опускается из вершины пирамиды в центр основания и образует прямоугольный треугольник с половиной стороны квадрата и радиусом вписанной окружности квадрата. Но так как у нас правильная пирамида, высота будет равна апофеме, то есть опущенному перпендикуляру к стороне квадрата из его центра.

Длина апофемы, равная высоте пирамиды, будет катетом в прямоугольном треугольнике, где гипотенузой является боковое ребро, а другим катетом - половина стороны основания \(4\sqrt{2}/2 = 2\sqrt{2}\).

Используем теорему Пифагора для нахождения высоты (обозначим её как h):

\