7. Автобус ехал сначала часть пути со скоростью 60 км/ч, а оставшийся путь со скоростью 90 км/ч. Каковы длины этих участков, если на весь путь в 240 км было затрачено 3 часа?

Давайте решим эту задачу, используя систему линейных уравнений.

Обозначим длину первого участка как \(S_1\), а длину второго участка как \(S_2\). Нам известно, что автобус проехал общее расстояние 240 км, таким образом, мы можем записать:

\[S_1 + S_2 = 240\]

Скорость на первом участке была 60 км/ч, а на втором - 90 км/ч. Пусть время движения на первом участке составило \(t_1\) часов, а на втором - \(t_2\) часов. На весь путь автобус затратил 3 часа, следовательно:

\[t_1 + t_2 = 3\]

Выразим время через пройденное расстояние и скорость для обоих участков дороги:

\[t_1 = \frac{S_1}{60}\] \[t_2 = \frac{S_2}{90}\]

Подставив эти выражения для времени в уравнение, описывающее общее время в пути, получим:

\[\frac{S_1}{60} + \frac{S_2}{90} = 3\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

\[S_1 + S_2 = 240\] \[\frac{S_1}{60} + \frac{S_2}{90} = 3\]

Чтобы решить систему, умножим второе уравнение на 60, чтобы избавиться от знаменателей:

\[S_1 + \frac{2}{3}S_2 = 180\]

Теперь система уравнений принимает вид:

\[S_1 + S_2 = 240\] \[S_1 + \frac{2}{3}S_2 = 180\]

Вычтем второе уравнение из первого:

\[S_1 + S_2 - S_1 - \frac{2}{3}S_2 = 240 - 180\] \[\frac{1}{3}S_2 = 60\]

Умножим обе стороны уравнения на 3, чтобы найти \(S_2\):

\[S_2 = 60 * 3\] \[S_2 = 180\]

Теперь зная \(S_2\), мы можем подставить это значение в первое уравнение, чтобы найти \(S_1\):

\[S_1 + 180 = 240\] \[S_1 = 240 - 180\] \[S_1 = 60\]

Таким образом, первый участок имеет длину 60 км, а второй участок — 180 км.