7. Автобус ехал сначала часть пути со скоростью 60 км/ч, а оставшийся путь со скоростью 90 км/ч. Каковы длины этих участков, если на весь путь в 240 км было затрачено 3 часа?
Давайте решим эту задачу пошагово.
Обозначим:
- длину первого участка пути \( S_1 \) (км),
- длину второго участка пути \( S_2 \) (км),
- время, затраченное на первый участок пути, \( t_1 \) (ч),
- время, затраченное на второй участок пути, \( t_2 \) (ч).
Зная скорость и время, можно выразить путь на каждом из участков:
Для первого участка: \[ t_1 = \frac{S_1}{60} \]
Для второго участка: \[ t_2 = \frac{S_2}{90} \]
По условию известно, что сумма путей равна 240 км, и общее затраченное время равно 3 часа:
\[ S_1 + S_2 = 240 \quad (1) \] \[ t_1 + t_2 = 3 \quad (2) \]
Теперь подставим выражения времени через пройденный путь и скорость во второе уравнение:
\[ \frac{S_1}{60} + \frac{S_2}{90} = 3 \]
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части равенства на общий знаменатель, который равен 180 (наименьшее общее кратное 60 и 90):
\[ 3S_1 + 2S_2 = 3 \cdot 180 \]
Теперь упростим это уравнение:
\[ 3S_1 + 2S_2 = 540 \quad (3) \]
С помощью уравнений (1) и (3) составим систему уравнений:
\[ \begin{cases} S_1 + S_2 = 240 \\ 3S_1 + 2S_2 = 540 \end{cases} \]
Попробуем решить эту систему уравнений методом исключения. Умножим первое уравнение на 2 и вычтем из третьего:
\[ \begin{cases} 2S_1 + 2S_2 = 480 \\ 3S_1 + 2S_2 = 540 \end{cases} \]
Вычитаем первое уравнение из второго:
\[ (3S_1 + 2S_2) - (2S_1 + 2S_2) = 540 - 480 \] \[ S_1 = 60 \]
Теперь мы знаем первый участок \( S_1 = 60 \) (км). Чтобы найти второй участок \( S_2 \), подставим значение \( S_1 \) в первое уравнение системы:
\[ 60 + S_2 = 240 \] \[ S_2 = 240 - 60 \] \[ S_2 = 180 \]
Итак, первый участок пути имел длину 60 км, а второй участок — 180 км.
