7. Автобус ехал сначала часть пути со скоростью 60 км/ч, а оставшийся путь со скоростью 90 км/ч. Каковы длины этих участков, если на весь путь в 240 км было затрачено 3 часа?

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся основной формулой длины пути, которая гласит \( S = v \cdot t \), где \( S \) - длина пути (расстояние), \( v \) - скорость, \( t \) - время в пути.

Обозначим длину первого участка как \( S_1 \), а длину второго участка как \( S_2 \). Также пусть \( t_1 \) - время, за которое автобус проехал первый участок, и \( t_2 \) - время для второго участка.

Из условия задачи мы знаем что:

1. \( S_1 + S_2 = 240 \text{ км} \) (общее расстояние)
2. \( t_1 + t_2 = 3 \text{ часа} \) (общее время)
3. Средняя скорость на первом участке \( v_1 = 60 \text{ км/ч} \)
4. Средняя скорость на втором участке \( v_2 = 90 \text{ км/ч} \)

Мы можем выразить время \( t_1 \) и \( t_2 \) через длину пути и скорость на каждом участке: \[ t_1 = \frac{S_1}{v_1} \qquad t_2 = \frac{S_2}{v_2} \]

Так как \( t_1 + t_2 = 3 \), подставляем значения времени: \[ \frac{S_1}{60} + \frac{S_2}{90} = 3 \]

Так как \( S_1 + S_2 = 240 \), можно выразить \( S_2 \) через \( S_1 \): \[ S_2 = 240 - S_1 \]

Теперь подставим выражение для \( S_2 \) в уравнение с временем: \[ \frac{S_1}{60} + \frac{240 - S_1}{90} = 3 \]

Чтобы решить данное уравнение, нужно привести слагаемые к общему знаменателю: \[ 3 \cdot (S_1 \cdot 90 + (240 - S_1) \cdot 60) = 3 \cdot 60 \cdot 90 \]

Раскроем скобки и упростим выражение: \[ 270S_1 + 14400 - 60S_1 = 16200 \] \[ 210S_1 = 16200 - 14400 \] \[ 210S_1 = 1800 \] \[ S_1 = \frac{1800}{210} \] \[ S_1 = 8 \text{ км/ч} \cdot 3 = 24 \text{ км} \]

Теперь найдём \( S_2 \): \[ S_2 = 240 - S_1 \] \[ S_2 = 240 - 24 \] \[ S_2 = 216 \text{ км} \]

Итак, первый участок длиной 24 км автобус проехал со скоростью 60 км/ч, а второй участок длиной 216 км - со скоростью 90 км/ч.