7. Автобус ехал сначала часть пути со скоростью 60 км/ч, а оставшийся путь со скоростью 90 км/ч. Каковы длины этих участков, если на весь путь в 240 км было затрачено 3 часа?
Для решения этой задачи составим систему уравнений. Пусть \( x \) – длина участка, который автобус проехал со скоростью 60 км/ч, а \( y \) – длина участка, который автобус проехал со скоростью 90 км/ч. Тогда:
- Суммарная длина обоих участков составляет 240 км:
\[ x + y = 240 \] (Уравнение 1)
- Время, затраченное на прохождение каждого из участков, в сумме составляет 3 часа. Так как время равно длине пути, делённой на скорость, то:
\[ \frac{x}{60} + \frac{y}{90} = 3 \] (Уравнение 2)
Чтобы было удобнее решать систему уравнений, умножим обе стороны второго уравнения на 180 (общий знаменатель для 60 и 90), чтобы избавиться от дробей:
\[ 3x + 2y = 3 \times 180 \]
\[ 3x + 2y = 540 \] (Уравнение 3, умноженное на 180)
Теперь у нас есть система двух уравнений с двумя неизвестными:
\[ \begin{cases} x + y = 240 \\ 3x + 2y = 540 \end{cases} \]
Мы можем найти одно из неизвестных через другое, используя первое уравнение. Давайте выразим, например, \( y \) через \( x \):
\[ y = 240 - x \]
Теперь подставим это выражение во второе уравнение, чтобы решить систему:
\[ 3x + 2(240 - x) = 540 \]
\[ 3x + 480 - 2x = 540 \]
\[ x = 540 - 480 \]
\[ x = 60 \]
Теперь подставим найденное значение \( x \) в выражение для \( y \):
\[ y = 240 - x \]
\[ y = 240 - 60 \]
\[ y = 180 \]
Итак, длины участков пути составляют 60 км (проехали со скоростью 60 км/ч) и 180 км (проехали со скоростью 90 км/ч).
