7. Автобус ехал сначала часть пути со скоростью 60 км/ч, а оставшийся путь со скоростью 90 км/ч. Каковы длины этих участков, если на весь путь в 240 км было затрачено 3 часа?

Весь путь \( S \) составляет 240 км, и на его преодоление ушло 3 часа. Пусть \( S_1 \) — длина участка, который автобус проехал со скоростью 60 км/ч, а \( S_2 \) — длина участка, который автобус проехал со скоростью 90 км/ч. Тогда:

\( S_1 + S_2 = S \) \( S_1 + S_2 = 240 \) км (1)

Время \( t \) разделится на две части: время, затраченное на первый участок \( t_1 \), и на второй участок \( t_2 \).

\( t = t_1 + t_2 \) \( t = 3 \) ч (2)

Поскольку скорость и время для каждого участка пути связаны соотношением \( v = S/t \), принимаем соотношения для каждого участка:

Для первого участка:

\( S_1 = v_1 \cdot t_1 \) \( S_1 = 60 \cdot t_1 \) (3)

Для второго участка:

\( S_2 = v_2 \cdot t_2 \) \( S_2 = 90 \cdot t_2 \) (4)

Зная, что \( t_1 + t_2 = 3 \), выразим \( t_2 \) через \( t_1 \):

\( t_2 = 3 - t_1 \) (5)

Заменим \( t_2 \) в (4) используя (5):

\( S_2 = 90 \cdot (3 - t_1) \)

Теперь у нас есть два уравнения (1) и (4) с двумя неизвестными (S_1 и t_1):

\( S_1 + 90 \cdot (3 - t_1) = 240 \)

Воспользуемся (3) для выражения S_1 через t_1:

\( 60 \cdot t_1 + 90 \cdot (3 - t_1) = 240 \)

Раскроем скобки:

\( 60t_1 + 270 - 90t_1 = 240 \)

Соберем все термины с t_1 в одну сторону:

\( -30t_1 = 240 - 270 \)

\( -30t_1 = -30 \)

Теперь разделим обе стороны на -30:

\( t_1 = 1 \) ч

Теперь мы можем вычислить S_1, используя уравнение (3):

\( S_1 = 60 \cdot 1 = 60 \) км

Зная общую продолжительность поездки \( t = 3 \) ч, можно найти \( t_2 \):

\( t_2 = 3 - t_1 = 3 - 1 = 2 \) ч Теперь найдем \( S_2 \), используя уравнение (4):

\( S_2 = 90 \cdot t_2 = 90 \cdot 2 = 180 \) км

Таким образом, первый участок имеет длину 60 км, а второй — 180 км.