7. Автобус ехал сначала часть пути со скоростью 60 км/ч, а оставшийся путь со скоростью 90 км/ч. Каковы длины этих участков, если на весь путь в 240 км было затрачено 3 часа?

Давайте обозначим длину пути, который автобус преодолевал со скоростью 60 км/ч, как \( S_1 \), а длину пути, который автобус преодолевал со скоростью 90 км/ч, как \( S_2 \). Тогда суммарная длина обоих участков равна 240 км, то есть:

\( S_1 + S_2 = 240 \) км (1)

Теперь найдем время, затраченное на прохождение каждого из участков. Время равно расстоянию, деленному на скорость. Пусть \( t_1 \) - время, затраченное на первый участок, а \( t_2 \) - время, затраченное на второй участок. Тогда:

\( t_1 = \frac{S_1}{60} \) часов и \( t_2 = \frac{S_2}{90} \) часов

Общее время в пути равно 3 часам, тогда:

\( t_1 + t_2 = 3 \) часа (2)

Теперь подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \) через \( S_1 \) и \( S_2 \) во второе уравнение:

\( \frac{S_1}{60} + \frac{S_2}{90} = 3 \)

Чтобы решить эту систему уравнений, удобно переписать оба уравнения с одинаковыми знаменателями:

\( \frac{S_1}{60} + \frac{S_2}{90} = 3 \) \( \frac{3S_1}{180} + \frac{2S_2}{180} = \frac{3 \cdot 180}{180} \)

Умножим обе части второго уравнения на 180, чтобы избавиться от дробей:

\( 3S_1 + 2S_2 = 3 \cdot 180 \)

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

\( S_1 + S_2 = 240 \) (уравнение 1) \( 3S_1 + 2S_2 = 540 \) (уравнение 2 после умножения обеих частей на 180)

Выразим \( S_1 \) из первого уравнения:

\( S_1 = 240 - S_2 \)

И подставим его во второе уравнение:

\( 3(240 - S_2) + 2S_2 = 540 \) \( 720 - 3S_2 + 2S_2 = 540 \) \( 720 - 540 = S_2 \) \( S_2 = 180 \) км

Теперь найдем \( S_1 \):

\( S_1 = 240 - S_2 = 240 - 180 = 60 \) км

Таким образом, у нас получилось, что автобус проехал первый участок длиной 60 км со скоростью 60 км/ч, и второй участок длиной 180 км со скоростью 90 км/ч.