7. Автобус ехал сначала часть пути со скоростью 60 км/ч, а оставшийся путь со скоростью 90 км/ч. Каковы длины этих участков, если на весь путь в 240 км было затрачено 3 часа

Для решения задачи можно использовать уравнение, основанное на понятии средней скорости. Сначала найдём среднюю скорость автобуса в пути.

Средняя скорость автобуса на весь путь равна общему расстоянию, делённому на общее время в пути: \[ V_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} \] \[ V_{ср} = \frac{240 \, км}{3 \, ч} = 80 \, км/ч \]

Обозначим длину первого участка как \( S_1 \), а второго участка как \( S_2 \). Поскольку общее расстояние составляет 240 км, мы можем записать что: \[ S_1 + S_2 = 240 \, км \]

Время, затраченное на прохождение каждого из участков, будет равно: \[ t_1 = \frac{S_1}{V_1} \] \[ t_2 = \frac{S_2}{V_2} \]

где \( V_1 = 60 \, км/ч \) и \( V_2 = 90 \, км/ч \).

Общее время пути составляет 3 часа, поэтому: \[ t_1 + t_2 = 3 \, ч \]

Теперь выразим \( t_1 \) и \( t_2 \) через \( S_1 \) и \( S_2 \) и подставим значение скоростей: \[ \frac{S_1}{60} + \frac{S_2}{90} = 3 \]

Учитывая, что \( S_1 + S_2 = 240 \), мы можем выразить \( S_2 \) через \( S_1 \): \[ S_2 = 240 - S_1 \]

Теперь подставим \( S_2 \) в уравнение времени: \[ \frac{S_1}{60} + \frac{240 - S_1}{90} = 3 \]

Для решения уравнения домножим обе стороны на 90 (общий знаменатель для 60 и 90), чтобы избавиться от дробей: \[ 90 \cdot \frac{S_1}{60} + 90 \cdot \frac{240 - S_1}{90} = 3 \cdot 90 \] \[ 1.5 \cdot S_1 + 240 - S_1 = 270 \] \[ 0.5 \cdot S_1 = 270 - 240 \] \[ 0.5 \cdot S_1 = 30 \] \[ S_1 = \frac{30}{0.5} \] \[ S_1 = 60 \, км \]

Теперь найдём \( S_2 \): \[ S_2 = 240 - S_1 \] \[ S_2 = 240 - 60 \] \[ S_2 = 180 \, км \]

Таким образом, длина первого участка пути, который автобус преодолел со скоростью 60 км/ч, составляет 60 км, а второго участка, который автобус преодолел со скоростью 90 км/ч, составляет 180 км.