7. Автобус ехал сначала часть пути со скоростью 60 км/ч, а оставшийся путь со скоростью 90 км/ч. Каковы длины этих участков, если на весь путь в 240 км было затрачено 3 часа

Дано: общее расстояние \( S = 240 \) км, общее время \( t = 3 \) часа.

Предположим, что автобус проехал расстояние \( S_1 \) со скоростью \( V_1 = 60 \) км/ч и расстояние \( S_2 \) со скоростью \( V_2 = 90 \) км/ч.

По условию задачи:

\( S = S_1 + S_2 \)

\( S_1 \) и \( S_2 \) - искомые длины участков пути.

Также известно, что время движения равно сумме времен, проведенных на каждом из участков:

\( t = t_1 + t_2 \)

Где \( t_1 \) - время, проведенное на первом участке, а \( t_2 \) - время, проведенное на втором. Время можно выразить через расстояние и скорость:

\(t_1 = \frac{S_1}{V_1}\) и \(t_2 = \frac{S_2}{V_2}\),

С учетом скоростей получаем:

\( t_1 = \frac{S_1}{60} \), \( t_2 = \frac{S_2}{90} \),

Теперь подставим наши выражения времени в общее время t:

\( 3 = \frac{S_1}{60} + \frac{S_2}{90} \).

И пусть \( S = S_1 + S_2 = 240 \) км,

Отсюда получим, что \( S_1 = 240 - S_2 \).

Теперь подставим это выражение \( S_1 \) в уравнение времени:

\( 3 = \frac{240 - S_2}{60} + \frac{S_2}{90} \)

Умножим все члены уравнения на 180 (наименьшее общее кратное 60 и 90), чтобы избавиться от знаменателей:

\( 180 \cdot 3 = 180 \cdot \frac{240 - S_2}{60} + 180 \cdot \frac{S_2}{90} \)

\( 540 = 3 \cdot (240 - S_2) + 2 \cdot S_2 \)

\( 540 = 720 - 3S_2 + 2S_2 \)

\( 540 = 720 - S_2 \)

Отсюда найдем \( S_2 \):

\( S_2 = 720 - 540 \)

\( S_2 = 180 \) км.

Тогда \( S_1 = 240 - S_2 = 240 - 180 = 60 \) км.

Ответ: длина первого участка пути \( S_1 = 60 \) км, длина второго участка пути \( S_2 = 180 \) км.