7. Автобус ехал сначала часть пути со скоростью 60 км/ч, а оставшийся путь со скоростью 90 км/ч. Каковы длины этих участков, если на весь путь в 240 км было затрачено 3 часа

Чтобы найти длину каждого участка пути, сначала установим общее время, которое автобус провел в пути:

Общее время = 3 часа

Теперь пусть автобус проехал дистанцию \(d\) километров со скоростью 60 км/ч, а оставшуюся дистанцию (240 - \(d\) км) со скоростью 90 км/ч. Мы можем составить уравнение, включающее время, затраченное на каждый участок пути:

\(\text{Время} = \text{Время на первом участке} + \text{Время на втором участке}\)

Зная, что время равно дистанции, делённой на скорость, получаем:

\(3 \text{ часа} = \frac{d}{60 \text{ км/ч}} + \frac{240 - d}{90 \text{ км/ч}}\)

Получается уравнение с одной переменной \(d\), которое мы должны решить, чтобы найти длину первого участка. Давайте приведем уравнение к общему знаменателю и решим его:

\(3 = \frac{d \times 90}{60 \times 90} + \frac{(240 - d) \times 60}{60 \times 90}\)

Для упрощения выражения мы можем сократить числа на 30:

\(3 = \frac{d \times 3}{2 \times 3} + \frac{(240 - d) \times 2}{2 \times 3}\)

\(3 = \frac{d}{2} + \frac{480 - 2d}{6}\)

Давайте умножим все члены уравнения на 6, чтобы избавиться от знаменателей:

\(3 \times 6 = 3d + 480 - 2d\)

\(18 = d + 480 - 2d\)

Перенесем \(d\) влево, а числа вправо:

\(d = 480 - 18\)

\(d = 462\)

Таким образом, автобус проехал первые 462 км со скоростью 60 км/ч. Однако, это решение явно ошибочно, так как общая длина пути составляет 240 км, а 462 км - это превышает общую дистанцию. Значит, допущена ошибка в решении. Перепроверим расчеты.

Вернемся к шагу приведения уравнения к общему знаменателю:

\(3 = \frac{d}{60} + \frac{240 - d}{90}\)

Приводим к общему знаменателю 180 (минимальное общее кратное для 60 и 90):

\(3 = \frac{d \times 3}{180} + \frac{(240 - d) \times 2}{180}\)

Упрощаем:

\(3 = \frac{3d}{180} + \frac{480 - 2d}{180}\)

Теперь умножаем обе стороны на 180, чтобы избавиться от знаменателя:

\(3 \times 180 = 3d + 480 - 2d\)

\(540 = d + 480\)

Вычтем 480 с обеих сторон, чтобы найти \(d\):

\(540 - 480 = d\)

\(d = 60\)

Получается, что дистанция, которую автобус проехал со скоростью 60 км/ч, составляет 60 км. Теперь найдем второй участок пути:

Общий путь - первый участок = второй участок

240 км - 60 км = 180 км

Итак, автобус проехал 60 км со скоростью 60 км/ч и 180 км со скоростью 90 км/ч.