7. Автобус ехал сначала часть пути со скоростью 60 км/ч, а оставшийся путь со скоростью 90 км/ч. Каковы длины этих участков, если на весь путь в 240 км было затрачено 3 часа

Давайте решим эту задачу с помощью системы уравнений. Пусть \( x \) будет длиной участка, который автобус проехал со скоростью 60 км/ч, и \( y \) будет длиной участка, который автобус проехал со скоростью 90 км/ч.

Также нам известно, что суммарная длина обоих участков составляет 240 км. Следовательно, первое уравнение системы:

\[ x + y = 240 \quad (1) \]

Затем, учитывая что время равно расстоянию, делённому на скорость, можно выразить время, за которое автобус проехал каждый из участков. Время, потраченное на первый участок, будет \( \frac{x}{60} \) часов, а на второй — \( \frac{y}{90} \) часов. Поскольку в сумме на весь путь было затрачено 3 часа, имеем второе уравнение:

\[ \frac{x}{60} + \frac{y}{90} = 3 \quad (2) \]

Чтобы решить эту систему, умножим обе стороны второго уравнения на 180 (это наименьшее общее кратное 60 и 90), чтобы избавиться от знаменателей:

\[ 3x + 2y = 3 \cdot 180 \] \[ 3x + 2y = 540 \quad (3) \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

\[ \begin{cases} x + y = 240 \\ 3x + 2y = 540 \end{cases} \]

Для решения системы можно использовать метод подстановки, сложения или вычитания. Я использую метод вычитания. Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициент при \( y \) в новом уравнении сравнялся с коэффициентом при \( y \) в третьем уравнении:

\[ 2(x + y) = 2 \cdot 240 \] \[ 2x + 2y = 480 \quad (4) \]

Теперь вычтем уравнение (4) из уравнения (3):

\[ (3x + 2y) - (2x + 2y) = 540 - 480 \] \[ 3x - 2x + 2y - 2y = 60 \] \[ x = 60 \]

Теперь, зная \( x \), мы можем вычислить \( y \), подставив \( x \) обратно в первое уравнение (1):

\[ x + y = 240 \] \[ 60 + y = 240 \] \[ y = 240 - 60 \] \[ y = 180 \]

Таким образом, длина участка, который автобус проехал со скоростью 60 км/ч, составляет 60 км, а длина участка, который автобус проехал со скоростью 90 км/ч, составляет 180 км.