7. Автобус ехал сначала часть пути со скоростью 60 км/ч, а оставшийся путь со скоростью 90 км/ч. Каковы длины этих участков, если на весь путь в 240 км было затрачено 3 часа?

Давайте решим эту задачу с использованием алгебраического подхода.

Обозначим \(x\) как длину участка, который автобус проехал со скоростью 60 км/ч, а \(y\) как длину участка, который автобус проехал со скоростью 90 км/ч. Нам известно, что автобус проехал весь путь за 3 часа и что общая длина пути составляет 240 км.

Используем эти данные для составления двух уравнений:

1. Сумма длин двух участков равна общей длине пути: \(x + y = 240\) (км)

2. Сумма времен, затраченных на каждый участок, равна общему времени поездки: \(\frac{x}{60} + \frac{y}{90} = 3\) (часа)

Теперь упростим второе уравнение. Для этого приведем дроби к общему знаменателю (к примеру, 180):

\(\frac{x}{60} = \frac{x \cdot 3}{180}, \frac{y}{90} = \frac{y \cdot 2}{180}\)

Следовательно, уравнение затраченного времени примет вид:

\(\frac{3x + 2y}{180} = 3\)

Умножим обе части на 180, чтобы избавиться от знаменателя:

\(3x + 2y = 540\)

Теперь у нас есть система уравнений:

\[ \begin{cases} x + y = 240 \\ 3x + 2y = 540 \end{cases} \]

Мы можем решить эту систему уравнений разными способами, но проще всего в данном случае использовать метод подстановки или вычитания. Начнем с первого уравнения и выразим \(y\) через \(x\):

\(y = 240 - x\)

Теперь подставим выражение для \(y\) во второе уравнение:

\(3x + 2(240 - x) = 540\)

Раскроем скобки:

\(3x + 480 - 2x = 540\)

Соберем все с \(x\) на одной стороне, а числа - на другой:

\(x = 540 - 480 = 60\)

Теперь найдем \(y\), подставив значение \(x\) в выражение для \(y\):

\(y = 240 - 60 = 180\)

Таким образом, длина участка, который автобус проехал со скоростью 60 км/ч, составляет 60 км, а участка со скоростью 90 км/ч — 180 км.