7. Автобус ехал сначала часть пути со скоростью 60 км/ч, а оставшийся путь со скоростью 90 км/ч. Каковы длины этих участков, если на весь путь в 240 км было затрачено 3 часа?

Question 1

Задача Задача №50796

А

Аноним

21 ноября 2023 05:04 · публичный вопрос

А

Аноним 21 ноября 2023 05:04

7. Автобус ехал сначала часть пути со скоростью 60 км/ч, а оставшийся путь со скоростью 90 км/ч. Каковы длины этих участков, если на весь путь в 240 км было затрачено 3 часа?

Answer

Пусть длина первого участка пути, который автобус проехал со скоростью 60 км/ч, равна \(S_{60}\), а длина второго участка пути, который автобус проехал со скоростью 90 км/ч, равна \(S_{90}\). Известно, что на весь путь из 240 км было затрачено 3 часа. Следовательно:

\[S_{60} + S_{90} = 240\]

Для каждого участка пути можно выразить время как отношение длины участка пути к скорости на этом участке:

\[\text{время} = \frac{\text{длина участка}}{\text{скорость}}\]

Таким образом, время, потраченное на первый участок:

\[t_{60} = \frac{S_{60}}{60}\]

А время, потраченное на второй участок:

\[t_{90} = \frac{S_{90}}{90}\]

Общее время равно сумме этих двух времён:

\[t_{60} + t_{90} = 3\]

Теперь подставим выражения для времени через \(S_{60}\) и \(S_{90}\):

\[\frac{S_{60}}{60} + \frac{S_{90}}{90} = 3\]

Мы имеем систему двух линейных уравнений:

\[\begin{cases} S_{60} + S_{90} = 240 \\ \frac{S_{60}}{60} + \frac{S_{90}}{90} = 3 \end{cases}\]

Из второго уравнения мы можем выразить \(S_{60}\) или \(S_{90}\) и подставить в первое уравнение. Выразим \(S_{60}\) через \(S_{90}\) из первого уравнения:

\[S_{60} = 240 - S_{90}\]

Подставим \(S_{60}\) во второе уравнение:

\[\frac{240 - S_{90}}{60} + \frac{S_{90}}{90} = 3\]

Умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 60 и 90, чтобы избавиться от дробей. НОК(60, 90) = 180. Умножаем каждый член уравнения на 180:

\[180 \cdot \frac{240 - S_{90}}{60} + 180 \cdot \frac{S_{90}}{90} = 3 \cdot 180\]

Упростим каждый член:

\[3 \cdot (240 - S_{90}) + 2 \cdot S_{90} = 540\]

\[720 - 3S_{90} + 2S_{90} = 540\]

\[-S_{90} = 540 - 720\]

\[S_{90} = 180\]

Теперь подставим значение \(S_{90}\) в первое уравнение системы:

\[S_{60} + 180 = 240\]

\[S_{60} = 240 - 180\]

\[S_{60} = 60\]

Итак, длина первого участка пути, где скорость была 60 км/ч, составляет 60 км, а длина второго участка пути, где скорость была 90 км/ч, составляет 180 км.

Question 2

7. Автобус ехал сначала часть пути со скоростью 60 км/ч, а оставшийся путь со скоростью 90 км/ч. Каковы длины этих участков, если на весь путь в 240 км было затрачено 3 часа?

Answer

Пусть длина первого участка пути, который автобус проехал со скоростью 60 км/ч, равна \(S_{60}\), а длина второго участка пути, который автобус проехал со скоростью 90 км/ч, равна \(S_{90}\). Известно, что на весь путь из 240 км было затрачено 3 часа. Следовательно: \[S_{60} + S_{90} = 240\] Для каждого участка пути можно выразить время как отношение длины участка пути к скорости на этом участке: \[\text{время} = \frac{\text{длина участка}}{\text{скорость}}\] Таким образом, время, потраченное на первый участок: \[t_{60} = \frac{S_{60}}{60}\] А время, потраченное на второй участок: \[t_{90} = \frac{S_{90}}{90}\] Общее время равно сумме этих двух времён: \[t_{60} + t_{90} = 3\] Теперь подставим выражения для времени через \(S_{60}\) и \(S_{90}\): \[\frac{S_{60}}{60} + \frac{S_{90}}{90} = 3\] Мы имеем систему двух линейных уравнений: \[\begin{cases} S_{60} + S_{90} = 240 \\ \frac{S_{60}}{60} + \frac{S_{90}}{90} = 3 \end{cases}\] Из второго уравнения мы можем выразить \(S_{60}\) или \(S_{90}\) и подставить в первое уравнение. Выразим \(S_{60}\) через \(S_{90}\) из первого уравнения: \[S_{60} = 240 - S_{90}\] Подставим \(S_{60}\) во второе уравнение: \[\frac{240 - S_{90}}{60} + \frac{S_{90}}{90} = 3\] Умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 60 и 90, чтобы избавиться от дробей. НОК(60, 90) = 180. Умножаем каждый член уравнения на 180: \[180 \cdot \frac{240 - S_{90}}{60} + 180 \cdot \frac{S_{90}}{90} = 3 \cdot 180\] Упростим каждый член: \[3 \cdot (240 - S_{90}) + 2 \cdot S_{90} = 540\] \[720 - 3S_{90} + 2S_{90} = 540\] \[-S_{90} = 540 - 720\] \[S_{90} = 180\] Теперь подставим значение \(S_{90}\) в первое уравнение системы: \[S_{60} + 180 = 240\] \[S_{60} = 240 - 180\] \[S_{60} = 60\] Итак, длина первого участка пути, где скорость была 60 км/ч, составляет 60 км, а длина второго участка пути, где скорость была 90 км/ч, составляет 180 км.