7. Автобус ехал сначала часть пути со скоростью 60 км/ч, а оставшийся путь со скоростью 90 км/ч. Каковы длины этих участков, если на весь путь в 240 км было затрачено 3 часа?
Чтобы определить длины участков пути, проходимых с разными скоростями, воспользуемся системой уравнений, выражающих путь и время.
Пусть \( x \) – это длина участка, который автобус проехал со скоростью 60 км/ч, а \( y \) – длина участка, проходимого со скоростью 90 км/ч. Тогда, общий путь автобуса 240 км можно выразить как сумму длин обоих участков:
\[ x + y = 240 \quad \text{(1)} \]
Также известно время, которое автобус затратил на весь путь, – 3 часа. Время, затраченное на каждый участок, можно определить, разделив длину этого участка на скорость:
\[ \text{Время, затраченное на участок со скоростью 60 км/ч} = \frac{x}{60} \]
\[ \text{Время, затраченное на участок со скоростью 90 км/ч} = \frac{y}{90} \]
Сумма времён, затраченных на оба участка, равна 3 часа:
\[ \frac{x}{60} + \frac{y}{90} = 3 \quad \text{(2)} \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2). Чтобы её решить, давайте преобразуем второе уравнение, чтобы избавиться от знаменателей. Для этого умножим обе части уравнения на общий знаменатель (в данном случае 180), чтобы получилось уравнение без дробей:
\[ 180 \cdot \left(\frac{x}{60}\right) + 180 \cdot \left(\frac{y}{90}\right) = 180 \cdot 3 \]
Упрощаем:
\[ 3x + 2y = 540 \quad \text{(3)} \]
Теперь у нас есть новая система уравнений:
\[ x + y = 240 \quad \text{(1)} \] \[ 3x + 2y = 540 \quad \text{(3)} \]
Чтобы решить систему, выразим \( y \) через \( x \) из первого уравнения:
\[ y = 240 - x \quad \text{(4)} \]
Теперь подставим выражение (4) вместо \( y \) в уравнение (3):
\[ 3x + 2(240 - x) = 540 \]
Раскроем скобки и решим уравнение:
\[ 3x + 480 - 2x = 540 \] \[ x = 540 - 480 \] \[ x = 60 \]
Теперь, зная \( x \), найдем \( y \):
\[ y = 240 - x \] \[ y = 240 - 60 \] \[ y = 180 \]
Итак, длина участка, проходимого со скоростью 60 км/ч, составляет 60 км, а длина участка, проходимого со скоростью 90 км/ч, – 180 км.
