7. Автобус ехал сначала часть пути со скоростью 60 км/ч, а оставшийся путь со скоростью 90 км/ч. Каковы длины этих участков, если на весь путь в 240 км было затрачено 3 часа?
Обозначим через \(x\) длину участка пути, который автобус проехал со скоростью 60 км/ч, а через \(y\) — длину участка пути, который автобус проехал со скоростью 90 км/ч. Время, которое автобус затратил на каждый участок пути, будет равно длине этого участка, делённой на скорость.
Итак, мы имеем систему уравнений:
- Сумма длин обоих участков составляет 240 км:
\(x + y = 240\) (1)
- Общее время движения равно 3 часам, что соответствует сумме времён прохождения каждого участка:
\(\frac{x}{60} + \frac{y}{90} = 3\) (2)
Чтобы решить эту систему, преобразуем второе уравнение, умножив обе его стороны на 180, которое является наименьшим общим кратным 60 и 90:
\(3x + 2y = 540\) (2')
Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными: \(x + y = 240\) (1) \(3x + 2y = 540\) (2')
Мы можем выразить \(y\) из первого уравнения:
\(y = 240 - x\) (3)
и подставить во второе уравнение:
\(3x + 2(240 - x) = 540\)
Раскроем скобки:
\(3x + 480 - 2x = 540\)
Объединим подобные члены:
\(x = 540 - 480\)
\(x = 60\)
Используем уравнение (3) для нахождения \(y\):
\(y = 240 - x\)
\(y = 240 - 60\)
\(y = 180\)
Итак, длина участка, который автобус проехал со скоростью 60 км/ч, составляет 60 км, а участок, который проехал со скоростью 90 км/ч, составляет 180 км.
