7. Автобус ехал сначала часть пути со скоростью 60 км/ч, а оставшийся путь со скоростью 90 км/ч. Каковы длины этих участков, если на весь путь в 240 км было затрачено 3 часа?
Чтобы решить эту задачу, можно использовать систему уравнений на основе формул для скорости, времени и расстояния.
Пусть \( x \) (в километрах) будет длиной участка, который автобус проехал со скоростью 60 км/ч, а \( y \) (также в километрах) — длиной участка, который проехал со скоростью 90 км/ч. Тогда:
Общая длина пути составляет 240 км: \[ x + y = 240 \]
Общее время в пути составляет 3 часа. Время, потраченное на прохождение каждого участка, можно выразить как \( \frac{x}{60} + \frac{y}{90} = 3 \).
Теперь нужно решить эту систему уравнений:
\[ \begin{cases} x + y = 240 \\ \frac{x}{60} + \frac{y}{90} = 3 \end{cases} \]
Переведём второе уравнение в более удобный для решения вид, умножив обе части на 180, чтобы избавиться от дробей:
\[ 3x + 2y = 540 \] (умножаем обе части уравнения на 180 и сокращаем дроби)
Теперь у нас есть система:
\[ \begin{cases} x + y = 240 \\ 3x + 2y = 540 \end{cases} \]
Выразим из первого уравнения \( y \) через \( x \): \[ y = 240 - x \]
Подставим значение \( y \) из первого уравнения во второе: \[ 3x + 2(240 - x) = 540 \]
Раскроем скобки и упростим уравнение: \[ 3x + 480 - 2x = 540 \] \[ x = 540 - 480 \] \[ x = 60 \]
Теперь, когда мы нашли \( x \), подставим его в уравнение для \( y \): \[ y = 240 - x \] \[ y = 240 - 60 \] \[ y = 180 \]
Таким образом, длина первого участка, который автобус проехал со скоростью 60 км/ч, составляет 60 км, а длина второго участка, который автобус проехал со скоростью 90 км/ч, составляет 180 км.
