7. Автобус ехал сначала часть пути со скоростью 60 км/ч, а оставшийся путь со скоростью 90 км/ч. Каковы длины этих участков, если на весь путь в 240 км было затрачено 3 часа?

Для решения задачи можно использовать уравнение, основанное на соотношении между временем, скоростью и расстоянием. Пусть автобус проехал первую часть пути \( S_1 \) со скоростью 60 км/ч, а вторую часть пути \( S_2 \) со скоростью 90 км/ч.

Согласно условию задачи, автобус проехал весь путь за 3 часа. Таким образом, время, затраченное на первую часть пути, составит \( \frac{S_1}{60} \) часов, а на вторую — \( \frac{S_2}{90} \) часов. Сумма этих времен равна 3 часам:

\[ \frac{S_1}{60} + \frac{S_2}{90} = 3 \]

Также известно, что сумма обоих участков пути равна 240 км:

\[ S_1 + S_2 = 240 \]

Теперь у нас два уравнения с двумя неизвестными \( S_1 \) и \( S_2 \):

\[ \begin{cases} \frac{S_1}{60} + \frac{S_2}{90} = 3 \\ S_1 + S_2 = 240 \end{cases} \]

Приведём первое уравнение к общему знаменателю:

\[ \frac{3S_1 + 2S_2}{180} = 3 \]

Умножим обе части уравнения на 180, чтобы избавиться от дроби:

\[ 3S_1 + 2S_2 = 540 \]

Теперь у нас система:

\[ \begin{cases} 3S_1 + 2S_2 = 540 \\ S_1 + S_2 = 240 \end{cases} \]

Выразим \( S_1 \) из второго уравнения:

\[ S_1 = 240 - S_2 \]

Теперь подставим это выражение в первое уравнение:

\[ 3(240 - S_2) + 2S_2 = 540 \]

Раскроем скобки:

\[ 720 - 3S_2 + 2S_2 = 540 \]

Решим это уравнение:

\[ -3S_2 + 2S_2 = 540 - 720 \]

\[ -S_2 = -180 \]

\[ S_2 = 180 \]

Теперь мы можем вычислить \( S_1 \):

\[ S_1 = 240 - S_2 \]

\[ S_1 = 240 - 180 \]

\[ S_1 = 60 \]

Таким образом, первый участок пути \( S_1 \) имеет длину 60 км, а второй участок \( S_2 \) — 180 км.