7. Автобус ехал сначала часть пути со скоростью 60 км/ч, а оставшийся путь со скоростью 90 км/ч. Каковы длины этих участков, если на весь путь в 240 км было затрачено 3 часа?
Давайте решим эту задачу, используя систему уравнений.
Пусть x (км) — длина первого участка, который автобус проехал со скоростью 60 км/ч, а y (км) — длина второго участка, который автобус проехал со скоростью 90 км/ч.
Из условия задачи мы знаем, что всего автобус проехал 240 км за 3 часа, следовательно:
- x + y = 240 (км) — сумма длин двух участков пути.
Также известно, что время, затраченное на весь путь составляет 3 часа. Время, затраченное на каждый участок, будет равно длине участка, делённой на скорость:
- x/60 + y/90 = 3 (ч) — сумма времён, затраченных на каждую часть пути.
Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
\[ \begin{cases} x + y = 240 \\ \frac{x}{60} + \frac{y}{90} = 3 \end{cases} \]
Преобразуем второе уравнение, умножив все его члены на 180 (наименьшее общее кратное знаменателей 60 и 90), чтобы избавиться от дробей:
\[ 180 \cdot \frac{x}{60} + 180 \cdot \frac{y}{90} = 180 \cdot 3 \]
Это упрощается до:
\[ 3x + 2y = 540 \]
Теперь у нас есть система:
\[ \begin{cases} x + y = 240 \\ 3x + 2y = 540 \end{cases} \]
Умножим каждый член первого уравнения на 3, чтобы коэффициент перед x в первом уравнении совпал с коэффициентом перед x во втором уравнении:
\[ \begin{cases} 3x + 3y = 720 \\ 3x + 2y = 540 \end{cases} \]
Теперь вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти y:
\[ 3y - 2y = 720 - 540 \]
\[ y = 180 \]
Теперь подставим значение y в первое уравнение системы, чтобы найти x:
\[ x + 180 = 240 \]
\[ x = 240 - 180 \]
\[ x = 60 \]
Итак, длина первого участка пути, который автобус проехал со скоростью 60 км/ч, составляет 60 км, а длина второго участка пути, который автобус проехал со скоростью 90 км/ч, составляет 180 км.
