Вычислите интегралы

Окей, давай посмотрим, что у нас тут есть. Тебе нужно вычислить три интеграла.

Начнем с первого:

Б) \(\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\sin^2 x}\)

Это интеграл от котангенса в квадрате умноженного на минус. Потому что \(\frac{1}{\sin^2 x}\) можно переписать как \(-\cot^2 x\). Формула для интегрирования котангенса в квадрате \(\cot^2 x\) есть, и мы можем её использовать. В итоге мы получаем:

\[-\int \cot^2 x dx = -x + \cot x\]

Теперь просто подставь верхний и нижний пределы и найди разность полученных значений.

Г) \(\int_{-3}^{-1} \frac{1}{x^2}dx\)

Этот интеграл тоже стандартный, так как функция \(x^{-2}\) является простой степенной функцией. Для интегрирования степенной функции мы прибавляем единицу к показателю степени и делим на новый показатель, не забыв еще про замену знака на противоположный (так как степень была отрицательной), тогда получаем:

\[-\frac{1}{x}\]

Ты просто снова подставляешь пределы интегрирования -3 и -1 и вычитаешь одно из другого, чтобы получить ответ.

Е) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2x)dx\)

Здесь перед нами сумма двух интегр