.

Привет! Давай разберемся с этой задачкой по математике.

Тебе нужно найти площадь фигуры, ограниченной линиями \(y = x^2 + 4x + 4\) и \(y = x + 4\). Чтобы это сделать, нам нужно найти точки пересечения данных функций, а затем вычислить площадь фигуры между этими кривыми.

Сначала приравняем функции друг к другу, чтобы найти точки их пересечения: \[x^2 + 4x + 4 = x + 4\]

Теперь решим это уравнение, перенеся все члены в одну сторону: \[x^2 + 4x + 4 - x - 4 = 0\] \[x^2 + 3x = 0\]

Разложим квадратное уравнение на множители: \[x(x + 3) = 0\]

Отсюда получаем два корня: \(x_1 = 0\) и \(x_2 = -3\). Это и будут наши точки пересечения.

Теперь, чтобы найти площадь фигуры между кривыми, нужно проинтегрировать разность функций от \(x = -3\) до \(x = 0\): \[S = \int_{-3}^{0} [(x + 4) - (x^2 + 4x + 4)] dx\]

Теперь вычислим интеграл, представляя разность функций как: \[(x + 4) - (x^2 + 4x + 4) = -x^2 - 3x\]

Интегрируем функцию: \[S = \int_{-3}^{0} (-x^2 - 3x) dx\]