Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 11 см больше другого. Найдите гипотенузу, если катеты треугольника относятся как 6:5

Пусть один отрезок гипотенузы равен \( x \), тогда другой отрезок равен \( x + 11 \). По условию задачи, катеты треугольника относятся как 6:5, значит соответственно они равны \( 6y \) и \( 5y \), где \( y \) - это общий множитель.

По теореме Пифагора имеем: \[ 6y^2 + 5y^2 = x^2 \] \[ 36y^2 + 25y^2 = x^2 \] \[ 61y^2 = x^2 \] \[ x = \sqrt{61}y \]

Также из условия задачи имеем: \[ x = 6y + 11 \]

Подставляем значение \( x \): \[ \sqrt{61}y = 6y + 11 \] \[ 61y^2 = (6y + 11)^2 \] \[ 61y^2 = 36y^2 + 132y + 121 \] \[ 25y^2 = 132y + 121 \] \[ 25y^2 - 132y - 121 = 0 \]

Решив уравнение, найдем значение \( y \). После находим \( x \) как \( \sqrt{61}y \), а затем гипотенузу по найденному \( x \).