Доказать, что если числа x, y и z — целые, то число 2((x − y) 4 + (y − z) 4 + (z − x) 4 ) является квадратом некоторого целого числа.

Для доказательства этого утверждения можно воспользоваться следующим рассуждением: Рассмотрим выражение (x - y)^4 + (y - z)^4 + (z - x)^4. После разложения этого выражения получаем: (x - y)^4 + (y - z)^4 + (z - x)^4 = 2((x - y)^4 + (y - z)^4 + (z - x)^4) - ((x - y + y - z)^4 + (y - z + z - x)^4 + (z - x + x - y)^4) =(x - y + y - z)^4 + (y - z + z - x)^4 + (z - x + x - y)^4 =x^4 - 4x^3y + 6x^2y^2 - 4xy^3 + y^4 + y^4 - 4y^3z + 6y^2z^2 - 4yz^3 + z^4 + z^4 - 4z^3x + 6z^2x^2 - 4zx^3 + x^4 - 4x^3y + 6x^2y^2 - 4xy^3 + y^4 =2(x^4 + y^4 + z^4 - x^3y - xy^3 - y^3z - yz^3 - z^3x - zx^3 + 2x^2y^2 + 2y^2z^2 + 2z^2x^2) =2((x^2 - xy + y^2)^2 + (y^2 - yz + z^2)^2 + (z^2 - zx + x^2)^2) Таким образом, мы видим, что исходное выражение 2((x - y)^4 + (y - z)^4 + (z - x)^4) равно квадрату некоторого целого числа.