Номер 1038

Привет! Давай попробуем вместе решить задачу под номером 1038 из твоего задания. Нужно найти площадь фигуры, ограниченной линиями, указанными в пункте 1:

\( y = \frac{1}{x} \), \( y = 4x \), \( x = 1 \), \( y = 0 \);

Сначала определим область пересечения кривых \( y = \frac{1}{x} \) и \( y = 4x \). Чтобы наити точки пересечения, приравняем функции:

\( \frac{1}{x} = 4x \)
\( 1 = 4x^2 \)
\( \frac{1}{4} = x^2 \)
\( x = \pm\frac{1}{2} \)

Так как у нас \( x = 1 \) является правой границей, нас интересует только положительное значение \( x \), то есть \( x = \frac{1}{2} \). Это будет левая граница фигуры.

Окно пересечения функций на между точками \( x = \frac{1}{2} \) и \( x = 1 \), где \( y = \frac{1}{x} \) находится над \( y = 4x \). Следовательно, чтобы найти искомую площадь, нужно взять интеграл по \( x \) от \( \frac{1}{2} \) до \( 1 \) от разности функций \( \frac{1}{x} - 4x \).

Площадь \( S \) под кривой на интервале от \( a \) до \( b \) находится по формуле:

\( S = \int_{a}^{b} f(x) dx \)

В нашем случае получается:

( S = \int_{1/